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常用离散格式的对比与讨论
摘要
本文介绍了离散格式在计算流体力学中的作用，并对常见离散格式的特点进行了简要的对比与总结，以便用户在实际计算中进行比较和选用。

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics）是近代流体力学，数值数学和计算机科学结合的产物。它是采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化。常见的流动控制方程如纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程或欧拉（Euler）方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维-斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。
为了求解流动控制方程，首先要将计算区域离散化，即对空间上连续的计算区域进行划分，分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，从而生成网格。之后将控制方程在网格上离散，即将偏微分格式的控制方程转化为各个节点上的代数方程组。由于应变量在节点之间的分布假设及推导离散方程的方法不同，形成了有限差分法，有限元法和有限体积法等不同类型的离散化方法，其中以有限体积法计算效率高，应用最为广泛。
在使用有限体积法建立离散方程时，很重要的一步是将控制体积界面上的物理量及其导数通过节点物理量插值求出。引入插值方式的目的就是为了建立离散方程，不同的插值方式对应于不同的离散结果。因此，插值方式常称为离散格式（discretization scheme）。目前使用最为广泛的一阶离散格式包括中心差分格式、一阶迎风格式、混合格式、指数格式及乘方格式，高阶离散格式包括二阶迎风格式及QUICK格式等。在对流场的计算中，不同的离散格式会表现出不同的性能，进而对流场产生重要的影响。离散格式的选取不当甚至会对流场求解产生错误的结论。因而针对不同的流型选择不同的离散格式显得尤为重要，而在选择之前，首要的是应搞清各种离散格式的特点及其在流场计算中所表现出的性能。下文即对上述几种常见的离散格式的特点进行简略的比较与讨论。
一、中心差分格式（central differencing scheme）：就是界面上的物理量采用线性插值公式来计算，即取上游和下游节点的算术平均值。它是条件稳定的，在网格数小于等于2时，中心差分格式的计算结果与精确解基本吻合，在不发生振荡的参数范围内，可以获得较准确的结果。如没有特殊声明，扩散项总是采用中心差分格式来进行离散。但中心差分格式因为有限制而不能作为对于一般流动问题的离散格式，必须创建其他更合适的离散格式。

二、一阶迎风格式（first order upwind scheme）: 即界面上的未知量恒取上游节点（即迎风侧节点）的值。这种迎风格式具有一阶截差，因此叫一阶迎风格式。无论在任何计算条件下都不会引起解的振荡，是绝对稳定的。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加密网格。研究表明，在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数条件下，采用中心差分的计算结果要比采用一阶迎风格式的结果误差小。因此，随着计算机处理能力的提高，在正式计算时，一阶迎风格式目前常被后续要讨论的二阶迎风格式或其他高阶格式所代替。

三、混合格式（hybrid scheme）：综合了中心差分和迎风作用两方面的因素，当||<2时，使用具有二阶精度的中心差分格式；当||2时，采用具有一阶精度但考虑流动方向的一阶迎风格式。该格式综合了中心差分格式和一阶迎风格式的共同的优点，其离散系数总是正的，是无条件稳定的。计算效率高，总能产生物理上比较真实的解，且是高度稳定的。但缺点是只具有一阶精度。

四、指数格式（exponential scheme）：将扩散与对流的作用合在一起来考虑，绝对稳定。在应对于一维的稳态问题时，指数格式保证对任何的Pelclet数以及任意数量的网络点均可以得到精确解。缺点是指数运算较为费时，对于多维问题以及源项不为零的情况此方案不准确。

五、乘方格式（power-law scheme）：绝对稳定，与指数格式的精度较接近，但比指数格式省时。主要适用于无源项的对流－扩散问题。对有非常数源项的场合，当数较高时有较大误差。

六、二阶迎风格式（second order upwind scheme）：二阶迎风格式与一阶迎风格式的相同点在于，二者都通过上游单元节点的物理量来确定控制体积界面的物理量。但二阶格式不仅要用到上游最近一个节点的值，还有用到另一个上游节点的值。它可以看作是在一阶迎风格式的基础上，考虑了物理量在节点间分布曲线的曲率影响。在二阶迎风格式中，只有对流项采用了二阶迎风格式，而扩散项仍采用中心差分格式。二阶迎风格式具有二阶精度的截差，但仍有假扩散的问题。

二阶迎风格式示意图

六、QUICK格式：是“对流项的二次迎风插值”，是一种改进离散方程截差的方法，通过提高界面上插值函数的阶数来提高格式截断误差的。对流项的QUICK格式具有三阶精度的截差，但扩散项仍采用二阶截差的中心差分格式。对于与流动方向对齐的结构网格而言，QUICK格式将可产生比二阶迎风格式等更精确的计算结果。QUICK格式常用于六面体（二维中四边形）网格。对于其它类型的网格，一般使用二阶迎风格式。

对于任一种离散格式，我们都希望其既具有稳定性，又具有较高的精度，同时又能适应不同的流动形式，而实际上又不存在这样理想的离散格式。现根据上述各种离散格式的对比可以归纳如下：
控制方程的扩散项一般采用中心差分格式离散，而对流项则可采用多种不同的格式进行离散。并且中心差分格式一般只用于大涡模拟，而且要求网格很细的情况。Fluent允许用户为对流项选择不同的离散格式(注意：粘性项总是自动地使用二阶精度的离散格式)。默认情况下，当使用分离式求解器时，所有方程中的对流项均用一阶迎风格式离散；当使用耦合式求解器时，流动方程使用二阶精度格式，其他方程使用一阶精度格式进行离散。此外，当选择分离式求解器时，用户还可为压力选择插值方式。 当流动与网格对齐时，如使用四边形或六面体网格模拟层流流动，使用一阶精度离散格式是可以接受的。但当流动斜穿网格线时，一阶精度格式将产生明显的离散误差(数值扩散)。因此，对于2D三角形及3D四面体网格，注意使用二阶精度格式，特别是对复杂流动更是如此。一般来讲，在一阶精度格式下容易收敛，但精度较差。有时，为了加快计算速度，可先在一阶精度格式下计算，然后再转到二阶精度格式下计算。如果使用二阶精度格式遇到难于收敛的情况，则可考虑改换一阶精度格式。 对于转动及有旋流的计算，在使用四边形及六面体网格式，具有三阶精度的QUICK格式可能产生比二阶精度更好的结果。但是，一般情况下，用二阶精度就已足够，即使使用QUICK格式，结果也不一定好。乘方格式一般产生与一阶精度格式相同精度的结果。总之，在满足稳定性条件的范围内，一般来书，在截差较高的格式下解的准确度要高一些，并且准确性往往是与稳定性相矛盾的。由此，我们在进行实际计算时，应结合具体情况和自身需求选用合适的离散格式。

参考文献：
【1】王福军.计算流体动力学分析[M].北京:清华大学出版社，2004
【2】陶文铨.数值传热学[M] (2版).西安:西安交通大学出版社，2001
【3】王明波，王瑞和.不同离散格式在湍流旋流流动数值模拟中的应用[J]. 中国机械工程，2007，18（5），600-603
【4】胡洪，黄虎，宋倩倩. 不同对流项离散格式对流场计算的影响[J]. 数值计算与计算机应用，2010，31（2），153-160
【5】张东升，李增耀，陶文铨，王秋旺. 对流项离散格式的对比与讨论[J]. 工程热物理学报，2004，25（4），673-675