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数学分析之微分中值定理的应用
张焕，付桐林
（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）
【摘要】：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，以Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy 中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，在导数应用中起着桥梁的作用，也是研究函数变化形态的纽带。本文将专门针对数学分析中出现的各种中值定理进行讨论和研究，讨论罗尔(Rolle)中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系的应用以及应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态
【关键词】：Rolle中值定理；Lagrange中值定理 ；Cauchy中值定理；应用
1. 引言 数学分析中的微分中值定理是研究函数特性的一个有力工具，在微积分领域有举足轻重的地位，它们广泛地应用于数学中的各个领域，在计算方法以及实变函数中都用于一些复杂的定理证明。但是关于微分中值定理这方面的知识一直比较离散，尤其在其应用过程中可以发现，如何巧妙应用，也许要很多理论的支持，比如在哪些条件下可以应用哪个微分中值定理，这样的问题也并不是很容易解决，因此把微分中值定理的性质及应用做一整理和归纳就显得尤为重要。本文的目的在于更加详细的归纳和整理本文的目的在于对Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的性质及应用。
2. 预备知识：
引理1 （Fermat引理）设是f(x)的一个极值点，且f(x)在处导数存在，
则f′()=0.
3三种中值定理的具体应用
3.1罗尔(Rolle)中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系的应用
（Roll定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点∈(a,b)，使得f′()=0.
定理1 设f(x)[a,b]，有点,k=1,2,…,n，满足,f()=0。那么对于任意，(k=1,…,n)必存在一点，使得
F()= (1)
证明：构造函数F(x)如下：
F(x)= f() (2)
易知F(x) [a,b]，且有f()=0,k=1,2,…,n,及F()=0 。即F(x)在[a,b]上有n+1个零点 (k=1,2,…,n)与，可将它们重新按从小到大顺序排列且记为，(显然有j， 使得)。显然F()=0， k=1,2,…,n+1。则由罗尔定理，在每个[]之间必有点，k=1,2,…,n,使得, k=1,2,…,n。进而对，再依罗尔定理，存在点,，使得, k=1,2,…,n-1。根据F(x) [a,b]，可重复上述步骤多次，直到最后对在,上k=1,2，应用罗尔定理得，存在一点,(a,b)使得，因此有
{f()}
=n! f()-
即得 F()= , .
◇证毕
依此定理，可直接推得如下结果：
推论 设f(x)[a,b]，且有点满足,f()=f(,k=0,1,…,n-1, ,,(k=1,…,n-1)必存在一点，使得
f()=f(
事实上，可考虑函数F(x):
.
易见，及）=0。从而应用上述定理，知存在点，使得，
即 ，
于是 .
上述结果可用来讨论具有连续高阶导数的周期函数，本征函数等有关函数与其导数间
关系及性质。
3. 2 Lagrange中值定理及其应用
Lagrange中值定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点 ∈(a,b)，使得f′()＝ (f(b)-f(a)) /(b-a) .
证明：作辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a)) (x-a)/(b-a) , x∈[a,b],
由于函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，因此函数F(x)也f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，并且有F(a)=F(b)=0，于是由Roll定理，至少存在一点∈(a,b)使得F(x)=0.对F(x)的表达式求导并令F′()=0，整理后便得到
f′()＝ (f(b)-f(a)) /(b-a) .
◇ 证毕
3.2.1 用Lagrange中值定理讨论函数性质：
定理2：若f（x）在(a,b)上可导，且f′(x)≡0，则f(x)在(a,b)上恒为常数。
证明：设和是区间（a,b）中任意两点，在[, ]上应用Lagrange中值定理，即知存在∈(, )(a,b)，使得f()-f() = f′()(-), 由条件
f′()=0，便有f()=f() ,由, 的任意性，就得到f(x)=C , x∈(a,b).

◇证毕
这个定理说的是函数在区间中导数为零时的情况，下面来讨论函数在区间中导数保持定号时函数所具有的性质。为了讨论方便，我们用I表示某一区间，它可以是闭区间、开区间、半开办闭区间，而区间长度可以是有限的也可以是无限的。
定理3：（一阶导数与单调性的关系）设函数在区间I上可导，则在I上单调增加的充分必要条件是：对于任意x∈I有f′(x)≥0；特别地，若对于任意x∈I有f′(x)＞0，则在I上严格单调增加。
证明：充分性：设和是区间I中任意两点，在上应用Lagrange中值定理，即知存在，使得
，
由于，因此与同号。所以，当≥0或 ＞0时，相应地分别有≥0或＞0，由和在[a，b]中的任意性，即知在I上单调增加或严格单调增加。
必要性：设x是区间I中任意一点，由于在I上单调增加，所以对于任意成立

令，即得到。
◇证毕
类似地可以得到在I上（或与在I上单调减少（或严格单调减少）之间的关系。
定义：设函数在区间I上定义，若对I中的任意两点和，和任意的，都有

则称是I上的下凸函数。若不等号严格成立，则称在I上是严格下凸函数。
定理4：（二阶导数与凸性的关系）设函数在区间I上二阶可导，则在区间I上是下凸函数的充分必要条件是：对于任意有≥0。
特别地，若对于任意有＞0，则在I上是严格下凸函数。
下面举例用下凸函数的性质证明不等式 ，x,y＞0，n＞1；
证明：设=，则当n＞1时，

，
所以在（0，+∞）上严格下凸，因而，x,y＞0.
3.2.2 一类Lagrange中值定理证明题浅析：
设在[0，1]上连续（0，1）内可导，，，试分别证明：
（1） 存在（0，1）内两个不同的点，使得.
（2） 存在（0，1）内两个不同的点，使得.
（3） 存在（0，1）内两个不同的点，使得.
（4） 存在（0，1）内两个不同的点及大于零的常数，使得
（5） 对于任意的正整数n，存在（0，1）内两个不同的点及常数，使得=.
分析 要证明存在（0，1）内两个不同的点，使得题中等式成立，关键是在（0，1）内插入一个分点c，将闭区间[0，1]分成两个子区间[0，c]及[c，1]，然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可。分点c的选取，要根据具体情况而定，有时需要结合闭区间上来连续函数的性质，推断符合要求的c点的存在性，以保证函数在该点处的值满足特殊要求，进而完成证明。
证明：（1）显然，分别在[0，1/2]及[1/2，1]上满足Lagrange中值定理的条件，故存在，，使得，，从而

（2）因为在（0，1）上连续，，，故根据闭区间上连续函数的介值定理存在，满足。显然分别在（0，c）及（c，1）上满足Larange中值定理的条件，故存在，，使得
，
从而
（3）构造辅助函数。显然，其在[0，1]上连续，且
=-1＜0，，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在，满足F（c）=0，f（c）=1-c
又，分别在[0，c]及[c，1]上满足Larange中值定理的条件，故存在，，使得，，从而

（4）因为在[0，1]上连续，，，故根据闭区间上连续函数的介值定理，存在，满足。显然分别在（0，c）及（c，1）上满足Larange中值定理的条件，故存在，，，使得，，从而

（5）因为在[0，1]上连续，，，且对于任意的正整数n，，故根据闭区间上连续函数的介值定理，存在，满足

又显然分别在[0，c]及[c,1]上满足Larange中值定理的条件，故存在，，，使得，，从而
==
3.3 Cauchy 中值定理及其应用
Cauchy 中值定理 设f(x) 和g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，且对于任意的x∈(a,b)，g′(x)＝0 . 则至少存在一点 ∈(a,b)，使得
f′() /g′()＝(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) .
证明：由闭区间上连续函数的性质，以及g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且导数恒不为零，读者不难用反证法证明，g(x)在[a,b]上严格单调。不妨设g(x)严格单调增加。
记g(a)=,g(b)=，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]上存在g(x)的反函数(y), (y)在[,]上连续，在(,)上可导，其导数[]′=并且在[,]上也是严格单调增加的。
考虑[,]上的复合函数F(y)=f((y))，由定理条件和以上讨论，即知F(y)在[,]上满足Lagrange中值定理条件，于是，存在，使得
F′()===
由g(x)和(y)的关系，在(a,b)中一定存在一点，满足g()=，于是
F′()={f((y))} ′={f′((y))*[ (y)] ′} ={ f′(x)*(1/g′(x))}=
代入上式就得到了定理结论。
◇证毕
4. 应用举例：
例1：求极限，其中为常数。
解 由Lagrange中值定理，其中位于与之间当n∝时，趋于1，所以===a
例2：设在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可导，证明存在，成立
f(b)+f(a)-2f()=
证明： 设g(x)=f(x)-f(x-)-f(a)。由于
g ()=f()-f(a), g(b)=f(b)-f(),
在区间[,b]上对g(x)应用Lagrange中值定理，即得到
f(b)+f(a)-2f()=g(b)-g()=g′()
=[f′()-f′(-)]
= .
例3：设a，b＞0，在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，证明存在，使得

证明：令=，对，应用Cauchy中值定理，可知必存在，使得

从而 .
例4：设f(x)在x=0的某领域内有n阶导数，且f(0)= f′(0)=…=，用Cauchy 中值定理证明 (0<<1) .
证明： 反复使用Cauchy 中值定理

… , ,
所以存在，使得，命题成立。
结束语：本文通过对三个微分中值定理的探究，在证明中值点的存在性 、证明恒等式 、 证明不等式、 证明方程根的存在性以及应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态等方面都起到了重要作用。 此外，通过研究Rolle中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系得出的结论可用来讨论具有连续高阶导数的周期函数，本征函数等有关函数与其导数间关系及性质。
参考文献：
[1] 《数学分析》第二版 . 高等教育出版社.167—171.
[2] 《数学分析》第二版 . 高等教育出版社.179—181.
[3] 《高等数学研究》 西北工业大学主办.