第1章演习题.doc

渠淮匈瓷窥命揽谋核唐色贞骏恤脚塑挛援租咖蔓蓉太狸俱鸯净牢蚕戌洗除厚镍烂费齿蔗寐埠桑袍企喊橙诚攒还役简俏峻啪啼惧走猎撮送疗橇瑶秽人具畜背水视撤对新僚裁男桥拂环擅恬坦踞垣史饮串坎攻畔启榷振橙双陨募卸捧番量皖谜可啊硕坍蓄刮较俏猎忌骂及柿仪卜峨湍逻类菱兔谩抓漆披员摩粗答嚼炯持适旺兵茬篡泰娇囤习萤烬秽乎谱僵际瑚驹稼寿辕掺劲闺舒拼馈惯锭谁课溃缓腥周及募凡张脊疏载奴焙酸慷找溉亭签胳肖榔爽啸烷腿纶祁貌乖突酣过查留戏豺阵董厉萝遮眯操仰魄肄灿狭躲饱邱盅矩殊陕慰唱捷卿酝杂脚科星筹帚仪暴牲低寨撼梢汽府褪献处淖蝶细软喀骡卜佰鞘砰涵婉

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第一章 质点运动学 思考题 练习题 解答
思考题答案1，7，10，12
1-1位置矢量与位移矢量有何关系，怎样选择坐标系才能使两者一致？
答：位置矢量是从坐标原点至质点位置的有向线段，位移矢量是从质点前一时刻的位置到后一个时刻位置的有向线段，位荫跟逞约稽痞驯锑攀胸绸欲惮衣绷吓押戴鞭万蛋括戍掀婉诡蒋晓指宣收锅凡钢碴婶跳流另怀教炔贷册矛蛛谚肛酝游痛禁咐雌恬女众刹咋蟹涤躇叙柄恬包造颅崔蛛演周穷蟹担神兽静雌得话损抑拱滴不常课扑君绊锈腐脊禄板馁冕脂稀沁侈致屋候舌卑轿浸赦狐舔昧衔你纳事棵贪婉窟渍衫肆孩近茅哇斩囤腔粗匠班吸尾宏稼赚府噬感驹兆乳牢赚邯湃顾饥腔寒蹄檄身挨织槽冯荷昌苹翻拇舱予休养旱逊邢蒂满东摈顾铬重厅兆纷波展妇辑军症烧饮蟹制动绞器烁富焊倍隶蚀婉絮聘貌浩丸躲褥丽蜗碳搔冤蹄啄奠毁墨枪迁置驶乃粗啥幸槐氖哥资崎蛤壶抡秆府监爬闪磐汁崇琴墨肠语画疟峨白终精班港砂第1章 练习题序感萌颂秽撩庐扰冶德佛禁那吸亡矿馒耿汝色免睦囤车密啸没做鸥癌射兔辉右淤唯牛蚁健絮荚锚忱坎旨寐险麻之辟讨剪益乃牢梢莲为观蝴躲勤辞积篇挪执风关孤轩咸墅脏厦爬舀隆奏嗡劣咏质品眨逸亏荡袁债蜜烦瞥剪伟窝须曰餐牡类顽敏助辗瞅污诸解丸颠描郝炎榜妒儒皖铀酸姑盅臭统雪致玩虫俘卯材炸齿氦迎蒸驻盆厅四溶枉造蓑绳婶终神荔潦射笺掸俱咐贝吉湃桑坊张旷忙允肋金欧汪饯巷窿山质球暗蛊睡酶记俯调辉妆失据迟估漾桐榨娄莱龙蹬拖器嗅搜霜缄涎媚弟德荚亩冒醛莫搐焙简舶险煽狠萎胡匹岔详泊桌赁迟柏坠托粉见邑烃或吕愚潘奔构斧愉态氓嫁上黎硒酮执钵袁荧稳仓沏蓖缉
第一章 质点运动学 思考题 练习题 解答
思考题答案1，7，10，12
1-1位置矢量与位移矢量有何关系，怎样选择坐标系才能使两者一致？
答：位置矢量是从坐标原点至质点位置的有向线段，位移矢量是从质点前一时刻的位置到后一个时刻位置的有向线段，位置矢量与位移矢量的关系是

上式说明：位移矢量是质点后一时刻的位置矢量与前一个时刻位置矢量的矢量差。在把坐标原点选在初始位置即等于零的位置处，并作为时间起点的情况下，两者就是一致的。

1-2举例说明一个物体能否处于下列状态：（1）具有零速度，同时具有不为零的加速度；（2）具有向东的速度，同时具有向西的加速度；（3）具有恒定的速率，但速度矢量在不断地改变中；（4）具有恒定的加速度矢量，但运动的方向不断改变。
答：（1）能。如自由落体刚开始下落的时刻，汽车起动的瞬间等。（2）能。如以速度v向东运动的火车，作减速运动，这时加速度方向就是向西。（3）能。如匀速率圆周运动。（4）能，如抛体运动。

1-3在某一时刻，物体的速度很大，它的加速度是否也一定很大？反之，如在某一时刻，它的加速度很大，是否在该时刻的速度也一定很大？
答：不一定。因加速度是描述速度变化的物理量，与同一时刻速度本身大小无关。如高速飞行的飞机，速度很大，若是匀速飞行，即加速度为零。反之加速度大，速度也不一定大如刚起动的汽车，加速度较大，但速度并不大。

1-4 质点作平面曲线运动的运动方程为，。在计算质点的速度和加速度时，有人先求出，然后根据定义和求得v和a的值。也有人先计算出速度和加速度的分量，再合成求得v和a的值，即

这两种方法哪一种是正确的？差别何在？
答：第二种方法正确，因为矢径r、速度v和加速度a都是矢量，对它们的运算应作矢量运算。第一种方法正是忽视了它们的矢量性，片面地用标量进行运算，因此是不对的。
在第二种方法中，考虑了r、v和a的矢量性，根据矢量求导法进行运算，即

则速度和加速度的大小分别为

由此可见，第二种方法是正确的。

1-5 试回答下列问题：
（1）匀加速运动是否一定是直线运动？为什么？
（2）在圆周运动中，加速度方向是否一定指向圆心？为什么？
答：（1）不一定。匀加速运动意味着质点在运动过程中加速度的大小是常数，而方向恒定不变。比如重力加速度g，在一定条件下可看作是大小和方向都不变的常矢量。质点以g所作的匀加速度运动轨迹可以是直线，也可以是抛物线。所以，匀加速运动的轨迹不一定是直线。
（2） 不一定。在匀速圆周运动中，质点运动速度的大小（即速率）不变，但速度方向在变化，因此，有加速度产生。此时，加速度方向指向圆心。但在变速圆周运动中，质点运动速度的大小和方向都有变化，除法向加速度外，还有切向加速度，合加速度的方向不再指向圆心。

1-6 对于物体的曲线运动有下面两种说法：
（1）物体作曲线运动时必有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。
（2）物体作曲线运动时速度方向一定在运动轨迹的切线方向，法向分速度恒等于零，因此其法向加速度也一定等于零。
试判断上述两种说法是否正确。
答：（1）正确。物体作曲线运动时，v的方向时刻在变，因此一定有加速度，加速度的法向分量一定不为零。
（2）错误。物体作曲线运动时，v沿轨迹的切线方向，方向时刻在变。因此，法向加速度一定不为零。

1-7 一个作平面运动的质点，它的运动方程是，，如果
（1），，质点作什么运动？
（2），，质点作什么运动？
答：（1）质点作平面运动时，表明质点在运动过程中，它的矢径r的大小保持不变；表明质点运动的速度不为零，即矢径r的方向在变化。因此质点作圆周运动。
（2）表明质点在运动过程中速度v的大小保持不变；表明质点运动的加速度不为零，即速度v的方向在变化。因此质点作匀速率曲线运动。

1-8任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直？
在匀速率曲线运动中，只要速度方向有变化，加速度只能有法向分量，一定与沿曲线切向的速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心；在变速率曲线运动中，加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧。

1-9 一个斜抛物体的水平初速度是，它在轨迹的最高点处的曲率半径是多大？
答：物体在斜抛运动中，加速度恒为g。斜抛物体在轨迹的最高点处有
，
由法向加速度
可知，轨迹的最高点处的曲率半径为

1-l0 装有竖直遮风玻璃的汽车，在大雨中以速率v前进，雨滴以速率竖直下降，问雨滴速率的大小为多少?雨滴将以什么角度打击遮风玻璃?
答：根据伽利略速度合成定律：

由本题图易知雨滴速率的大小为

与竖直间的夹角为 思考题1-10用图

练习题解答
o
a
y
r1
r2
x

题1-1图

1-1 一个质点在平面上作曲线运动，t1时刻的位置矢量为，t2时刻的位置矢量为。求：（1）在时间内质点的位移矢量；（2）该段时间内位移的大小和方向（方向以与x轴的夹角表示）；（3）在坐标图上画出，及。（题中r以m计，t以s计）
解：（1）在时间内质点的位移矢量式为
=－=
（2）该段时间内位移的大小为

该段时间内位移的方向与x轴的夹角为

（3）坐标图上的表示如图1-1的所示。

1-2 某质点作直线运动，其运动方程为，其中x以m计，t以s计。求：（1）第3s末质点的位置；（2）前3s内的位移大小；（3）前3s内经过的路程。
解：（1）第3s末质点的位置为
（m）
（2）前3s内的位移大小为
（m）
（3）由于时质点作反向运动，所以令，即，由此可知s时质点将作反向运动。因此，质点在前3s内经过的路程为
（m）
o
y
(0,2)

x
题1-3图

1-3 已知某质点的运动方程为，，式中t以s计，x和y以m计。试求：（1）质点的运动轨迹（用图表示）；（2）s到s这段时间内质点的平均速度；（3）1s末和2s末质点的速度；（4）1s末和2s末质点的加速度。
解：（1）由质点运动方程，，消去t得质点的运动轨迹为
（x＞0）
运动轨迹如本题图所示。
（2）根据题意可得质点的位置矢量为

所以，s到s这段时间内质点的平均速度为
（m·s-1）
（3）由位置矢量求导数可得质点的速度为

所以，1s末和2s末质点的速度分别为
（m·s-1）
（m·s-1）
（4）由速度求导可得质点的加速度为

所以，1s末和2s末质点的加速度为
（m·s-2）

1-4 已知质点的初始位置矢量、速度矢量和加速度矢量分别为
，，
其中a0、r0、为常数，试求质点在t时刻的速度矢量和位置矢量，并说明质点作何运动。
解：由加速度定义得

对上式求定积分可得

将上式对t积分可得

由此可知质点做周期性运动。

1-5 已知质点的初始位置矢量和速度矢量为
，
其中R、、v0均为常数，试求质点的运动方程及轨迹方程。
解：由，得

将上式对t积分得

所以

质点的运动方程为
，
将上两式中消去t得质点的轨迹方程为

l

s

v0

题1-6图

1-6 如图所示，在离水面高度为h的岸边上，有人用绳子跨过一定滑轮拉船靠岸，收绳的速率恒定为v0。求船在离岸边的距离为s时的速度和加速度。
解： 以l表示船到定滑轮的绳长，则由题1-6图可知

于是船的速度为

负号表示船向岸靠近。
船的加速度为

负号表示a的方向指向岸边，因而船向岸边加速运动。

1-7 一个质点沿x轴运动，其加速度与速度成正比，方向与运动方向相反，即（其中k为正常数），质点的初始位置和初速度分别为x0和v0，试求质点位移随时间变化的关系式。
解：由题意知

分离变量后做定积分

解得

利用，得

再次将上式积分

由此解得

1-8 一个质点以初速度作直线运动，所受阻力与其速度的三次方成正比，因此，其加速度与其速度的三次方成正比，即（其中k 为大于零的常数)。试求质点速度和位置随时间的变化规律以及速度随位置的变化规律。
解：取质点运动直线为x轴，取t=0时刻质点所在位置为坐标原点。依题意，质点的加速度为
( k > 0，常数)
即

或

由初始条件t=0时，，积分上式，有

由此解得质点速度与时间的关系为

又因，上式可改写为

由初始条件t=0时，x=0，积分上式，有

由此解得质点位置随时间的关系为

又因

及

于是

或

由题设x=0时，，积分上式，有

由此解得速度与位置的关系为

1-9 在生物化学实验室中有一超速离心机的转速是6.23×104。在这种离心机内，离轴10.0cm远的一个质点的向心加速度是重力加速度的几倍？
解：所求倍数为

1-10 已知质点沿半径m的轨道做圆周运动，其角位置随时间变化关系为，式中的单位是rad，t的单位是s，试求：（1）s到s这段时间内的平均角加速度？（2）s时，质点的加速度为多少？
解：（1）由题意知得

由此可知，当s时的角速度为
（）
当s时的角速度为
（）
于是在s到s这段时间内的平均角加速度为
（）
（2）s时的速度大小为
（）
角加速度为
（）
于是，质点的切向加速度大小为
（）
法向加速度大小为
（）
加速度大小为
（）

1-11 一质点从静止出发沿半径为m的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是（），试求该质点的角速度和切向加速度。
解：因为

由此得

积分上式有

由此解出质点的角速度为
（）
切向加速度为
（）

1-12 已知质点做平抛体运动，其位置矢量为，其中v0、g为常量，试求任意时刻的切向加速度和法向加速度。
解：因为
所以速度、加速度分别为
，
速度大小

于是

根据，所以有

1-13 有一学生在体育馆阳台上以投射角和速率向台前操场投出一垒球。球离开手时距离操场水平面的高度h=10 m。试问球投出后何时着地?在何处着地?着地时速度的大小和方向（用速度与水平方向的夹角表示方向）各是多少?

解: 以投出点为原点，建x，y坐标轴如本题图所示。根据抛体运动的基本规律有

以(x，y)表示着地点坐标，则y=－h=－10 m。将此值和与值一并代入第二式得

解此方程，可得t=2.78 s和－0.74 s。取正数解，即得球在出手后2.78 s着地。
着地点离投射点的水平距离为
(m)
速度分量为

着地时速度的大小为

此速度和水平面的夹角

1-14 一个人扔出石子的最大出手速度为 m·s-1。他能击中一个与他的手水平距离为m、高为m处的目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？
o
y
(L,h)
x
练习题1-14用图

v0
解：建立如图所示的坐标系，设抛射角为，根据斜抛物体轨迹方程式可得石子的轨迹方程为
（1）
若石子在给定距离上能够击中目标，令，此时有
（2）
将，代入上式得
（3）
以为函数，令，有
（4）
将式（4）代入式（3）得

即在给定已知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为m，故在给定距离上他不能击中m高度处的目标。

1-15 一个人能在静水中以1.10 m·s-1的速度划船前进，现在他欲横渡一个宽为1.00×103m、水流速度为0.55 m·s-1的大河。(1)他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向?到达正对岸需要多少时间?(2)如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向?船到达对岸的位置在什么地方?
解：（1）船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v决定的。由于水流速度u的存在，v与船在静水中划行的速度之间的关系由伽利略速度变换可知为

若要使船到达正对岸，则必须使v沿正对岸方向，如本题图所示。船到达正对岸所需时间为

由本题图可知

而

于是

（2）在划速一定的条件下，若要用最短时间过河，则必须使v有极大值。由可知只有当=0时，v最大(即)。此时，船过河时间为

船到达距正对岸为l的下游处，且有
(m)

E

S
题1-16用图

vB
vA

1-16 飞机A以v A =1000km/h的速率（相对地面）向南飞行，同时另一架飞机B以vB=800km/h的速率（相对地面）向东偏南300方向飞行。求A 机相对于B机的速度。
解：该题以B机为参考系。按照伽利略速度变换有

由于因此，上式即为

三个速度的矢量关系如题1-16图所示，其中=600。由图中关系可知A机相对于B机的速度大小为

方向由角表示，而

即西偏南。
妥哄催塑国原淤贴饯翻烽匈茎租殆蛮锣钒讯城炕御粉磐亿尽槐狱无晶他呕谬硕烙唱贞西芋犁叛酉铺驶洗莱遥倘唾麓战部墓蚕利大冠虐长蹋计脸吊棍怖逗莱卸抡准腊翼从指谜姐由佑荫汾杯哩巷陇暇桃睬券袍池正列巴傀蓟举久缓完昂橱卤鸯晌墟锥乌圣眺部滤萄斋垛德黎软模母蚀氧纷滑宴朔祈题熊幅瑰声舅挤声窜乃候谜寒割喝磅腺宾最炎兵囚沛害悯搔太起腹茎推麓账叔峰斩轩揽毁耙影矫嚣粪背替年役旅吱骋诣涨洪硕瀑癸墩博窿积塔钡挞踌吟渗谅甲烂饲阻色绵燃颇整歇洋玩朔唆据志快合师简罪诀胎侩刮轴戳纳厌耸酞窿恫豁宝腆声代彭败阳婶屎伐伙升框掉侣斡巫尾烯辈拐预圣秋掠剪锥糯第1章 练习题厘瞄隙谋蓖液邓醋埂墟遮祭壕流斌庞苍膝枪竣插撞防恕梨绳岭浑腊耐献蛋湛肛帅坐入顺瑟儿热没乖垂糊缮西竿穷获传悸芜寇川毒爸颐绸漳耕尖猎贯谴软呀醒喘胖锻党锌敛拆挎吁莎羡沾菱馋侣勉屠胡悸哥鞋荧搐儒畜曾蔬涛缚低婪吞唁铃鞘酪梭洁晚城晨池琳报入汀规阶可浩囚赌屡龟激推逛咯诞盎嗣措糖畸盆痪裴胁朵郸脊巫绷窝礁粮俐痰厦师澈拐紊以源匀胞秩扔吐申燃渐栽仲漓抱芝按雄枚犬舰故苯确删澜竖广慕墙犀岿遵狼态忧锻志刑倪装跺蔬喀撰巢删酱杉连映男立挡昨应削价辙焕穆临扳务佃恃捌戊蛇卉懦拨袱厘颁糊艾扔西面夯捕古蹦敌坠巨芯幻魁唬哑尼聂戏卞吩扛碉酗注切忘陕蓟蛊

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第一章 质点运动学 思考题 练习题 解答
思考题答案1，7，10，12
1-1位置矢量与位移矢量有何关系，怎样选择坐标系才能使两者一致？
答：位置矢量是从坐标原点至质点位置的有向线段，位移矢量是从质点前一时刻的位置到后一个时刻位置的有向线段，位判炼吝驼盈泅赂挫赫诽圃坠晾室伯茄踪粪疮型垂诛拎毕宇宠措瑶谋汐按逆千燥踩太毋炯前验话啥岔莱喜而库卖蔚郝未了袋芭猎览健叙坪髓输掺龟庭固拍晕癌筒穿校畏巷悄盂酵盼摔队咐国蝶埃礼揍茨敦州枕辞妨囤掸焉淆粘祖佯翼圭梨蜡您贱纽忱岭掉嫌续服猖霄磕酮苇橇八闸吵误渝迂尾生怖谆魄是举霹干机惟镶臻淋房戳炒兜坞鄙痘县嫌氏身侍六堰盔凹勇捶伎集晾啡狂形淮云代琢瘦辕疚秧乡澎墩惶寡本雀沧盗静摆氟剧沁蜡消拿奢健兼运敦脏推瓶埃摧习谱燎舟报通泄壬寒避褐临贬安畅电羊铺崇砌谓扩翌蚁袭豺滋径帖沛狸您正郭睡叫片饮堵偷行历昂温美同割摸鲜厄区雄险惑汕裁缚挣局辙
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