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一些有名的几何定理
取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里.
1. 阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB。
2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度数学家。
3. 凡·奥贝尔定理（van Aubel's theorem）说明：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直。
4. 芬斯勒–哈德维格尔定理（Finsler-Hadwiger Theorem）说明：若两个正方形ABCD和AB'C'D'拥有同一个顶点A。B'D的中点、BD'的中点、ABCD的中心和AB'C'D'的中心将组成一个正方形。
5. 莫雷角三分线定理（Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。
此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。

6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。

同时拿破仑留下这样的名言:
''一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。
——拿破仑
7. 泰博定理是法国几何学家维克多·泰博（Victor Thébault，1882年-1960年)）提出的平面几何问题。
1. 取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形。（此为凡·奥贝尔定理的特例。）
2. 取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形。
3. 给定任意三角形ABC，BC上任意一点M。作两个圆形，均与AM、BC、外接圆相切。该两圆的圆心和三角形内切圆心共线。（应用：日本定理）
第三题是最难的。1938年《美国数学月刊》曾刊出第三题，但直至1973年才为荷兰数学家H. Streefkerk证出。2003年，Ayme发现早在1905年Y. Sawayama已解决这题。
8. 维维亚尼(Viviani)定理说明：在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高
这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。
它以温琴佐·维维亚尼命名。
9. 西姆松定理说明：有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的投影（即由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P在三角形的外接圆上。
相关的结果有：
· 称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
· 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
· 若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

10. 卡诺定理
设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

OOA + OOB + OOC = R + r，
其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。
11. 塞瓦线段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果的塞瓦线段AD、BE、CF通过同一点O，则

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边BC、CA、AB或其延长线上，且满足
，
则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。
它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明。

12. 梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有：
。
它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在的边BC、CA、AB或其延长线上（至少有一点在延长线上），且满足
则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

case 1. 直线LMN穿过三角形ABC           case 2. 直线LMN在三角形ABC外面

13. 蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
14. 密克定理

三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。

逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么三角形, , 的外接圆交于一点O。

完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形, , , 的外接圆交于一点 O，称为密克点。

四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。

五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点F, G, H, I, J分别是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交点，那么三角形, , , , 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
逆定理：设C1,, C2, C3, C4, C5五个圆的圆心都在圆C上，相邻的圆交于C上，那么把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。
 15. 帕普斯定理

设U，V，W，X，Y和Z为平面上六条直线。如果：
（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且
（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，
则（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。
16. 托勒密定理
四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积。