合情推理与演绎推理_学案.doc

2.1 合情推理与演绎推理
姓名 班级
【学习目标】
（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；
（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
【教学重点】能利用归纳、类比、演绎的方法进行简单的推理。
【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含的“三段论”形式。
【教学过程】
问题一：归纳推理
一、创设情境
1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=22, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如 （）的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，从而推翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明。
4. 哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图1 图2 图3
      于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
二、合作探究：
1、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
讨论： (i) 归纳推理有何作用？
(ii)归纳推理的结果是否正确？
2. 练习：
(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
（2）已知 ，考察下列式子：
；；.
可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .
(3). 观察等式：，能得出怎样的结论？
三、例题讲解
例1.已知数列的第1项a1=1，且 ，试归纳出这个数列的通项公式。

例2:汉诺塔问题
有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。1.每次只能移动一个金属片;
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
1
2
3

巩固练习：（1） 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
（2）已知数列满足，，（求的通项公式。

问题二：类比推理
一、 创设情境
（1）鲁班由带齿的草叶和蝗虫的齿牙发明锯；
（2）人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；
（3）地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.
二、合作探究：
1、类比概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
练习：（1）圆与球的特征的类比（课本P73）
（2）在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？

三、例题讲解
例1、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。

例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

问题三：演绎推理
一、 创设情境
（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀 ；
（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道饶太阳运行。冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星是 。
（3）三角函数都是周期函数，是三角函数。因此是 。
问：上述推理有什么共同特征？
二、合作探究
1、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
2、三段论法：（1）三段论式推理是演绎推理的一般模式，它包括：
大前提（M是P）—— ；
小前提（S是M）—— ；
结 论（S是P）—— 。
（2）集合观点：
若集合中的每一个元素都具有属性且是的子集,那么集合中的每一个元素都具有属性。
讨论：（1）因为指数函数是增函数，是指数函数，则结论是什么？
（结论是否正确，为什么？）
（2）演绎推理怎样才结论正确？
3、合情推理与演绎推理的区别：
（1）合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用；合情推理的结论 正确，有待于进一步的证明；演绎推理是按照严格的逻辑法则，得到新结论的推理过程。演绎推理
在 都正确的前提下，得到的结论一定 。
（2）归纳推理：由 到，由 到；类比推理：由 到 ； 演绎推理：由 到 。
（3）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程；
合情推理可发现新的数学结论、证明思路等。
三、例题讲解
例1：如图所示，在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC,D、E是垂足。求证：AB的中点M到点D、E的距离相等。
分析：：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.

例2：证明函数 在（-，1）内是增函数。

思悟小结

巩固提高
1．观察下列等式，猜想出一般的结论，并证明．
，，
，．

2、证明：通项公式为的数列为等比数列。并分析证明过程中的三段论。

3、类比三角形中的余弦定理，在四面体中有怎样的结论？能否证明？

4、平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）
A、 B、 C、 D、

5、在圆内画1条线段,将圆分成两部分;画2条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么
(1)在圆内画4条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?
(2)在圆内画5条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?
(3)在圆内画n条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?

6、在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径 。

7、在圆中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有=-1。你能用类比的方法得出椭圆=1(a>b>0)中有什么样的结论？

8、在等差数列中，若，则有
（n<19,且n
成立。类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？

3