历年各地中考数学-矩形、菱形与正方形试题与答案.doc

第26章 矩形、菱形与正方形

一、选择题
1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）
（A）48cm （B）36cm
（C）24cm （D）18cm
（第10题）
①
②
③
④
⑤

【答案】A
2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是
图1
图2
图3
……

（A） （B） （C） （D）
【答案】C
3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为

A.17 B.17 C.18 D.19
【答案】B
4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为
A.2 B. C. D.6

【答案】A
5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别 为．现给出下列命题：（ ）
①若，则．②若则．
则:
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题
【答案】A
6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则( )
（第5题）

A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°
【答案】C
7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条

【答案】D
8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）
（A）48cm （B）36cm
（C）24cm （D）18cm
（第10题）
①
②
③
④
⑤

【答案】A
10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若＝6，＝16，则的长度为何？

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）
A.AC⊥BD B.AB＝CD
C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD
【答案】A.提示：当且仅当为菱形时，AC⊥BD。
12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
A
C
D
图2

B

【答案】B
13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2
【答案】B
14. （2011四川宜宾7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第7题图）

【答案】D
15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
…
A1
A
A2
A3
B
B1
B2
B3
C
C2
C1
C3
D
D2
D1
D3
第10题图
③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是

A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】C·
16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
【答案】C
17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正确的序号是
A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④
【答案】D
20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】A
21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
  ①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2；
③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
A
B
C
D
E
F
G
H
第12题图

【答案】D
22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是

A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里
【答案】B
23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形
【答案】D
24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是
A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形
【答案】B
二、填空题
1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.
（第17题图）

【答案】62°
2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．
第一次操作
第二次操作

【答案】或
3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
A
B
C
D
 第5题图

【答案】28
4. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

【答案】2
5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形．

【答案】4
6. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
【答案】
7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。
……

【答案】
8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位．

【答案】5或9
9. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.

【答案】
10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.

【答案】
11. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
A
B
C
D
E
F
G
H

【答案】AB=CD
12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．

【答案】：
13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)
【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD
(答案不唯一，写出一种即可)
14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．
(第12题)
B
A
D
C
E

【答案】
15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且
AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ ▲ cm.

【答案】4
16. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

【答案】2
17. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 。
【答案】或
18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
A
B
C
D
 第5题图

【答案】28
19. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。
【答案】AB=2BC
20．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．

【答案】2;
21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__．

【答案】5
22. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .
【答案】15°或75°
三、解答题
1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
（第23题图2）
（第23题图3）
（第23题图1）

【答案】（1）四边形EFGH是正方形．
　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，
在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形
∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．
③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，
∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，
又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．
（1）求证：=；

l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3

A
B
C
D

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；
（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3

A
B
C
D
E
F
G
1
4
2
3

【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，
∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；
（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；
(3)由题意，得， 所以
，
又，解得0＜h1＜
∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；
当h1=时，S取得最小值；
当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.
3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图10-1
图10-2
备用图

【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
综上所述,与满足的数量关系式是
图1
图2
图3

4. （2011广东广州市，18，9分）
如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．
求证：△ACE≌△ACF．
图4
A
B
C
D
E
F

【答案】∵四边形ABCD为菱形
∴∠BAC=∠DAC
又∵AE=AF，AC=AC
∴△ACE≌△ACF（SAS）
5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（第24题图）

【答案】

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，
四边形AECF是矩形………………2分
证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分
同理，FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

(第22题)

（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，
则，，.
∵，∴. 2分
∴，.
∴. 4分
（2）证明：作∥交于点， 5分
则，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴. 7分
∴. 8分
(第22题)

7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

（备用图）
【答案】 解：∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．
∴∠MNK=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,
由（1）知∠KNM=∠KMN．
∴MK=NK．
又MK≥ME,
∴NK≥1．
∴．
∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MKMD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得
,
解得，．
即．
∴． （情况一）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得
即．
∴．
∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）
8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
A
B
C
D
E
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

【答案】（1）证明：连接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，
∴AB＝BC.
（2）证明：过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.
∴CD＝EF.
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF.
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.

9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；
(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，
∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.

10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF＝DC，BE＝AB
∴DF∥BE，DF＝BE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF
(2)证明：∵AG∥BD
∴∠G＝∠DBC＝90°
∴DBC 为直角三角形
又∵F为边CD的中点．
∴BF＝DC＝DF
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形
11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接
求证：;
当时，求证：四边形是菱形；
在（2）的条件下，若，求的值.
（第22题）

【答案】.证明：(1)
解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，
所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，
所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.
解法2：

又

(2)解法1：
证明是斜边上的中线

又四边形是平行四边形
四边形是菱形
解法2
证明：

又四边形是平行四边形
四边形是菱形
解法3
证明：

四边形是平行四边形

又
四边形是菱形
解法1
解：四边形是菱形

的中位线，则

解法2
解：四边形是菱形

12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
（第23题图2）
（第23题图3）
（第23题图1）

【答案】（1）四边形EFGH是正方形．
　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，
在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，
∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．
③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，

∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，
又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
(1)证明：△A1AD1≌△CC1B；
(2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）
【答案】
∵矩形ABCD
∴BC=AD,BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1
∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。C
B
A
D
A1
C1

D1
（第21题）

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6分
当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，……………9分
14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。
A
B
C
D
E
F
O

【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO
∵AD∥BC
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是菱形。
（2）由（1）得AF=AE=10
设AB=a，BF=b，得
a2+b2=100 ①，ab=48 ②
①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）
∴△ABF的周长为24cm
（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。
A
B
C
D
E
F
O
P

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP
又AC=2AO
∴2AE2=AC·AP
15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ。
（2）解法一： PD=8-t
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.
当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，
∴△ODP∽△ADB，
∴，即，
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.
解法二：PD=8-t
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，
∴， ∴，
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.
16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？
请你解答上述两个问题.

【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴顶点O运动过程中经过的路程为
.

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为
=1+π.
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为
.
问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为

∴π=20×π+π.
∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.
17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似