优化设计方法.doc

3.3最优化设计
最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。在 FIR DF的最优化设计中 ,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最大误差最小化)准则两种。实际设计中 ,只有采用窗函数法中的矩形窗 才能满足前一种最优化准则 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。为了满足设计的要求 ,可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应 ,但此时的设计已经不能满足该最优化准则了。因此 ,要完成 FIR DF的最优化设计 ,只能采用后一种优化准则来实现。
3.3.1　等波纹切比雪夫逼近准则

在滤波器的设计中 ,通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数 ,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同 ,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。
尽管窗函数法与频率采样法在FIR数滤波器的设计中有着广泛的应用, 但两者不是最优化的设计 。通常线性相位滤波在不同的频带内逼近的最大容许误差要求不同。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带) 的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得 和之间的最大绝对误差最小。
等波纹切比雪夫逼近是采用加权逼近误差，它可以表示为：
(3-4)
其中，为逼近误差加权函数在误差要求高的频段上，可以取较大的加权值，否则，应当取较小的加权值。
尽管按照 FIR 数字滤波器单位取样响应 h(n)的对称性和 N的奇、偶性，FIR 数字滤波器可以分为 4 种类型，但滤波器的频率响应可以写成统一的形式：
(3-5)
其中，k∈{0 ,1} , H (ω)为幅度函数，且是一个纯实数，表达式也可以写成统一的形式：
(3-6)
其中，为ω的固定函数，为M个余弦函数的线性组合。
3.3.2仿真函数
利用数字信号处理工具箱中的 remezord 和 remez函数可以实现 FIRDF的最优化设计。在此先介绍这两个函数:
(1)n ,fo ,ao ,weights =remezord f ,a ,dev
功能:利用 remezord 函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数 n ,归一化频率带边界fo ,频带内幅值ao 及各个频带内的加权系数weights。输入参数f为频带边缘频率 ,a 为各个频带所期望的幅度值 ,dev是各个频带允许的最大波动。
(2)h =remez(n ,fo ,ao ,weights‘, ftype’)
功能:利用 remez 函数可以得到最优化设计的FIR DF的系数 ,输入参数 n 是滤波器的阶数 ,fo ,ao ,weights参数含义说明同 (1)。ftype 是所设计的滤波器类型 ,它除了可以设计普通的滤波器外 ,它还可以设计数字希尔钞特变换器以及数字微分器。实际设计中 ,由于 remezord 函数可跑高估或低估滤波器的阶数 n ,因此在得到滤波器的系数后 ,必须检查其阻带最小衰减是否满足设计要求。如果此时的技术指标不能满足设计要求 ,则必须提高滤波器的阶数到 n +1 ,n +2等。故等波纹切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器的步骤是：
①给出所需的频率响应，加权函数和滤波器的单位取样响应
的长度N。
②由①中给定的参数来形成所需的、和的表达式。
③根据Remez算法,求解逼近问题。
④利用傅立叶逆变换计算出单位取样响应 。
用最优化设计法设计一个滤波器：
例1： 设计一个最小阶数的低通滤波器，采样频率fs=2000 Hz，通带截止频率为500Hz，阻带的截至频率为600Hz，阻带最小衰减为40dB，通带的最大衰减为3dB。
在设计之前应先确定用说明方法设计，本例可选择等波纹的最优化设计法。程序如下：
fs=2000; %采样频率
rp=3; %通带波纹
rs=40; %阻带波纹
f=[500 600]; %截止频率
a=[1 0]; %期望的幅度
dev=[(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1) 10^(-rs/20)];
[n,fo,ao,w]=remezord(f,a,dev,fs);
b=remez(n,fo,ao,w); %调用最优设计法中remez 函数
freqz(b,1,1024,fs)
程序运行后，计算机输出该滤波器的幅频及相频响应特性，如图1所示。

图1 　滤波器输出的幅频及相频响应特性

上图中幅频特性曲线从500Hz开始向下折，这是因为题设中通带截止频率为500Hz，同样图中幅频曲线在600Hz降为最低，是因为题设中阻带的截至频率为600Hz。

最优化设计

图 5 　滤波器输出的幅频及相频响应特性

结果分析：
在设计中 ,如果该滤波器的特性不满足要求 ,那么 ,原有参数必须作适当调整。这在程序中很容易实现 ,只需对参数进行重新设定 ,就可以得到新条件下滤波器的特性。采用最优化设计方法时大大减小了滤波器的阶数,从而减小了滤波器的体积,并最终降低了滤波器的成本。这样使得设计出来的滤波器更为简单经济。因而在实际的滤波器设计中,这种最优化方法是完全可行的。在实际应用中 ,如果需要对某一信号源进行特定的滤波 ,并要检验滤波效果 ,应用传统方法实施起来比较繁琐。在Matlab环境下,可先用软件模拟产生信号源 ,再设计滤波器对其进行滤波 。
同样是设计一个FIR低通数字滤波器，综合分析可以看出：
（1）窗函数法在阶数较低时，阻带特性不满足设计要求，只有当滤波器阶数较高时，使用海明窗和凯塞窗基本可以达到阻带衰耗要求；
（2）频率采样法偏离设计指标最明显，阻带衰减最小，而且设计比采用窗函数法复杂。只有适当选取过渡带样点值，才会取得较好的衰耗特性；
（3）利用等波纹切比雪夫逼近法则的设计可以获得最佳的频率特性和衰耗特性，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。
综上所述，FIR 滤波器很容易实现具有严格线性相位的系统, 使信号经过处理后不产生相位失真,舍入误差小,而且稳定，因此越来越受到广泛的重视。MATLAB软件的诞生, 使数字信号处理系统的分析与设计得简单,它已经成为电子工程师必备的一个工具软件。

最优化设计实现程序
fs =2000; 　　　　 %采样频率
rp =3; %通带波纹
rs =40; %阻带波纹
f = [500 600]; %截止频率
a = [1 0]; %期望的幅度
dev= [(10^(rp/20) - 1)/ (10^(rp/20) + 1) 10^( - rs/20) ];
[n ,fo ,ao ,w] = remezord(f ,a ,dev,fs) ;
b = remez(n ,fo ,ao ,w) ; %调用最优设计法中 remez函数
freqz(b ,1 ,1024 ,fs);