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两角和与差的正弦
江苏省苏州市第十中学 吴锷

一、目标定位
在普通高中《数学课程标准（实验）》中，对两角和与差的正弦的要求是：能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，了解它们之间的内在联系，并由此为基础进行简单的三角恒等变形（包括积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）．
本节内容（“两角和与差的正弦”）的具体目标为：能从两角和与差的正弦公式的推导过程中体会化归思想的应用；掌握两角和与差的正弦公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
根据《课程标准》的要求，本节的目标定位如下：
1．从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，体会化归思想的应用，了解公式之间的内在联系，理解两角和与差的正弦、余弦四个公式中，只要证明其中任意一个就能利用化归思想推导其余三个。这是一个过程性的目标.
2．使学生通过独立探索和讨论交流，自主完成例题、习题中的相关运算，从不同角度应用公式，即公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件使用公式”，从而达到提高学生运用公式的能力.
二、多向对比
1． 与原大纲相比，两角和与差的三角函数都是必修的数学内容，体系地位基本相同.

普通高中数学课程标准
原数学教学大纲
课题
两角和与差的正弦
两角和与差的正弦、余弦、正切
体系地位
必修（必修4）
必修（第一册（下））
教学目标
能从两角和与差的正弦公式的推导过程中体会化归思想的应用；掌握两角和与差的正弦公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 从不同角度应用公式，即公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件使用公式”，从而达到提高学生运用公式的能力.
（1）明确两角和与差的的三角函数的意义，即用单角的三角函数表示两角和与差的的三角函数.
（2）理解余弦和角公式是基础，能用余弦公式推导其他两角和与差的三角函数公式并了解其内在联系.
（3）能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
2． 不同的版本处理的差异
说明：这里选择人教A、人教B与苏教版加以对比．

苏教版
人教A版
人教B版
课时
2课时
1课时
1课时
分类
有
有
有
例题
说明
例题大致分成两类（公式的直接应用和公式的综合应用）
例1（直接套用公式）
例2（直接套用公式）
例3（逆用公式）
例4（通过变角综合运用公式，即正用和逆用公式）
例5（综合运用公式，即创造条件运用公式）
例6（利用公式变形解决两角和差的综合问题）
注：本节内容比较注重公式的变形和灵活运用.
例题大致分为两类（公式的“正用”和公式的“逆用”）
例3（直接套用公式）
例4（逆用公式）
注：本节内容将两角和与差的正弦、余弦、正切公式一气呵成，例题较为简单，只要求学生掌握公式最基本的的运用.
例题大致分成两类（公式的直接运用和应用公式解决实际问题）
例1（直接套用公式）
例2、例3解决向量的旋转问题.
例4构造辅助角求三角函数的最值.
例5利用两角和与差的正弦公式解决实际问题.
注：本节内容注重公式的实际应用（数学本身的应用和实际生活中的应用）.
方法
提炼
小结
有明显的方法小结.
没有明显的方法小结，但配有探究性的思考问题.
没有明显的方法小结.
练习、
习题
练习8题.主要是公式的直接应用.
习题分3个层次共14题.
感受·理解（8题）
思考·运用（4题）
探究·拓展（2题）
主要是体现为不同角度（公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件运用”）运用公式解决问题.
练习6题.主要是公式的直接运用（包括“正用”和“逆用”）.
习题无明显分类，共14大题，除第4、5、8、13、14（1）（2）（3）（4）（9）（10）外其余都是直接运用公式.
练习按难易分为A、B两类共8题.A组1（1）－（3）、3，B组1为公式的“正用”.A组1（4）（5）、2，4，B组3为公式的“逆用”.B组2、4为实际应用.
习题按难易分为A、B两类.
A组4题，B组2题.
主要为公式的常规运用.
阅读
拓展
弦表与托勒密定理
无
和角公式与旋转对称
结论：各套教材均严格按课标要求处理此部分内容，所有的教学目标、内容体系均未超出课标的要求．相对来讲，苏教版分类清晰，点拨到位，例题、习题要求较高，有一定的灵活性和思考量．
3． 老教材将两角和与差的正弦、余弦、正切一气呵成，对公式的处理手段与苏教版类似，所配例题较少，公式应用分类不够清晰，缺乏方法点拨，学生自主学习有一定困难．但课后配有大量的练习和习题，意在通过训练掌握运用公式的规律，以达到提高解决问题的能力．
三、案例聚焦
1．两角和与差的正弦公式如何推导，回顾余弦公式的向量证法，利用向量旋转的知识可以求得两角和的正弦公式，此证法建立在模仿两角和与差的余弦基础上；而化归思想是数学的重要思想方法，以已有的余弦公式为基础，利用诱导公式进行推导显得轻松和谐．可以让学生自己进行比较．
2．如何用好公式解题是关键，为了克服这一难点，除讲清公式的特点和用途外，还需要训练从正面直接套用公式，从反面逆用公式，更要能创造条件使用公式，教材中例1－例6就是从这几个层面上来体现公式的运用．
3．本案例分两课时完成，其中第一课时例1－例3，第二课时例4－例6.
四、教学示例（苏教版）
随着基础教育课程改革的逐步推进，课堂教学正发生着实质性的变化。课堂是开放的，教学是生成的。课堂教学是一个个鲜活生命在特定情景中的交流与对话，动态生成是它的重要特点，教学过程是“精心预设”在课堂中“动态生成”的过程．课例《两角和与差的三角函数》，正是在新课程改革背景下，运用“动态生成”的教育理念，从生成与建构的实际需要出发，对课堂进行了多个维度的预设，在动态实施的课堂中更关注学生的智慧生成，充分依托学生的已有知识经验和认知发展水平进行教学的一种尝试．
一、两角和与差的正弦公式的引入（学生活动）
1．回顾上一课：sin15°可转化为cos75°＝cos（45°＋30°）来进行计算．而sin15°＝sin（45°－30°），sin75°＝sin（45°＋30°），那么有没有两角和与差的正弦公式呢？
2．学生就上述问题展开讨论：
考虑问题的合理性：sin（α＋β）能否用α，β的三角函数来表示．
如果上述问题是合理的，那么怎样推导两角和与差的正弦公式．
a
b
x
y
O

预设一：引导学生回顾两角差的余弦公式的推导方法，使学生往向量证法上思考．利用向量旋转和向量数量积的知识，模仿两角差的余弦的证法，可以求得两角和的正弦公式．
如图，设a＝（sinα，cosα）＝（cos（90°－α），sin（90°－α）），b＝（cosβ，sinβ），则一方面，a·b＝sinαcosβ＋cosαsinβ；另一方面，向量a与b的夹角是（90°－α）－β＝90°－（α＋β），a·b＝|a||b|cos[90°－（α＋β）]＝sin（α＋β）．比较两方面得sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
预设二：研究sin（α＋β）与cos（α＋β）之间的关系，引导学生从诱导公式的角度来思考。即以两角差的余弦公式为基础来推导两角和与差的正弦公式．
从余弦的和角公式来推导正弦的和角公式：

．
即 （）．
让学生体会并比较两种推导，预设一是模仿余弦的证明方法，是前一课的再现。预设二是前一课的应用，其基本思想为“化归”．
在此基础上，结合模仿及化归，可让学生自己写出两角差的正弦公式。即在中以－β代β，结合诱导公式得，
即 （）．
二、两角和与差的正弦公式的应用（数学运用）
例1 已知，，，．求的值．
解 由，，得cosα＝－，
又由，，得sinβ＝－，
∴＝．
点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．
让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答。
预设三：条件不变，求的值．
预设四：改变角的范围，仍然求的值。期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨。期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知，，，．求的值．
预设五：把角度限制去掉，即已知，，求的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．
例2 化简
（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ ；
（2）＝ sinα ；
（3）cos（70°＋α）sin（170°－α）－sin（70°＋α）cos（10°＋α）＝．
点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用．
预设六：怎样求sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．
例3 已知，，α，β均为锐角，求sinα．
帮助学生分析条件，寻找解题的突破口。即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决。
解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin（α+β）>0，
由得，由得．
∴．

点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……
预设七：让学生讨论问题：“已知，求sinα的值”.请同学们提出解题方案．
可能性解决方案一：将展开，得到，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合，可求得sinα的值。必须指出此方案运算量大，不易求解．
可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题。必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习有利于培养学生的创新精神．
例4 求证： ．

预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A＋B及A来表示，以消除角的差异．
证 左边＝
＝右边.
∴等式成立.
点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.
例5 求的值.
预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.
解 原式＝
＝.
点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.
例6 已知，，求的值.
预设十：在前面学习的基础上，本例可由学生自主完成，并体会方程思想在解题中的应用.
三、回顾反思
1．利用诱导公式及代换的方法从两角和与差的余弦出发推导了两角和与差的正弦公式，通过诱导公式及代换实现了化归．
2．利用正弦的和角公式可以方便地对一些相关的三角关系进行计算、化简、求值．
3．要注意公式的“正用”、“逆用”、“创造条件用”．
4．想一想：能否利用正弦的和角公式来推导余弦的和角公式．
五、资源点击
课后作业建议
第一课时：
1．P.98练习的处理
练习1－4可在推导两角和与差正弦公式后，由学生口答完成；练习5－7可在讲完例2和例3后，留时间让学生课内完成.
2．习题3.1（2）应根据学生的实际情况进行布置.
（A）对于基础一般的学生，应要求他们掌握公式的常规运用，课后书面作业为：第1－4题，第9题.
（B）对于基础较好的学生，应要求他们在掌握公式的常规运用的基础上，达到能创造条件灵活运用公式的要求. 课后书面作业为：第2－4题，第9、10题.
第二课时：
1．P.100练习的处理
练习1，2可在例题讲完后让学生课内完成（也可请学生上黑板做）.
2．习题3.1（2）应根据学生的实际情况进行布置.
（A）对于基础一般的学生，课后书面作业为：第5－8题，第11（1）题.
（B）对于基础较好的学生，课后书面作业为：第5－8题，第11、12题.
3．对于学有余力的学生可布置第13，14题，由学生通过自主探究完成.
拓展资源
1．介绍一种公式的几何验证方法．
在△ABC中，AB＝c，AC＝b，∠ABC＝α，∠ACB＝β，用两种方法求三角形的面积进行比较．
如图（A）（B）所示：

对于（A），一方面， ①
另一方面
， ②
由①②可得．
对于（B），利用也可得到，同学自己验证．
验证公式的目的是让学生进一步体会三角的几何背景.
2．已知sinαcosβ＝，求cosαsinβ的取值范围．
这是一个探究性的问题，其解题思路为：
（1）如何将cosαsinβ与条件sinαcosβ＝建立联系？
设cosαsinβ＝t，
点评 等号“＝”――数学之桥，它构建了已知与未知的桥梁，使问题迎刃而解.
此时sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋t，即sin（α＋β）＝＋t，
∴－1≤＋t≤1，即－≤t≤． ①
（2）讨论上述范围正确吗？
改进：－1≤t≤，引导学生观察等号能否成立．
① 当α＝β＝45°时，cosαsinβ＝，即最大值能取得到；
② 当t＝－1时，即cosαsinβ＝－1，显然条件sinαcosβ＝不能成立．
说明上述所求的范围太大，即下界太小。那么到底还需要什么条件呢？
（3）继续讨论，探索正确结论．
sinαcosβ－cosαsinβ＝－t，即sin（α－β）＝－t，
∴－1≤－t≤1，即－≤t≤． ②
此时，当α＝－45°，β＝45°时，cosαsinβ＝－．
综上所述，由①②可得－≤cosαsinβ≤．
类比：已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的取值范围．
答案：≤cosα＋cosβ≤．

六、案例点评
1．“模拟预案”的设计体现了“以人为本”的人文精神
通常的课例即教案基本上是以数学知识的传授为根本目的，较少关注学生的设计数学水平和数学需要，对学生在学习过程中的困惑与不解也不够重视．教师在设计课例时往往关心的是知识怎样教，而不是学生怎样学，这是一种舍本逐末的错误倾向，而“模拟预案”即预设正是对这种倾向的一定程度的纠正。本课例中所有预设都是以学生的实际数学需要为根本出发点，充分体现了“以人为本”的人文精神．
2．教学活动的复杂性要求施教者必须有预设
数学知识的复杂性和抽象性决定了学生在学习过程中难免产生某些不解和困惑，学生认知的层次性也决定了不同的学生对同一数学内容会有不同的理解，不同的学生在数学认知上有时间上和路径上的差异．数学课堂教学活动具有一定的随机性，因而具有不可预测性.作为教师只有全方位、多角度地进行预设，才有可能在实际课堂教学中自如应对，合理引导．本人觉得我们不怕在教学中出现问题，就怕在备课中没有问题．
3．“模拟预案”使复杂多变的教学活动在一定程度上有序可控
教师不是导演，教学不是演戏。教学活动不可能一成不变地“设计”，但这并不意味着教师在控制教学活动上无能为力．对教学内容的理解越透彻，对“学情”分析得越深刻，就越容易从宏观上预测课堂教学，设计的“模拟预案”也就更具有指导意义．