1、一．柯西施瓦茨不等式及其积分形式
柯西不等式：
证明：（1）构造二次函数：
显然，成立，那么，而判别式就是上述形式。
（2）当然也可以考虑数学归纳法
两边的好说，归纳假设就解决了，中间的部分用一下基本不等式，解决。】
然后，是积分形式：
柯西施瓦茨不等式：
证明：简单写吧，因为很容易看出，这个不等式和上面的式子密切相关
取，即可。】
在裴礼文数学分析习题集上，还有另外一种证法，考虑到篇幅，
2、就不再过多叙述，有兴趣的同学可以看《一元积分学》一章。
二．杨不等式及其积分形式
杨不等式的形式很简单：（p>0且q>0），则
证明：先两边同时取对数，考虑函数的上凸性，即证。】
这个定理还没完，我们只说了p>0且q>0时的情况，那么如果有一个小于0呢？可令 （），我们可以想到什么呢：定比分点。 p>0且q>0时，x在（a，ln（a）），（b，ln（b））确定的线段上。 p，q中有一个小于0的时候，在射线上。考虑一下一条直线与对数函数的关系，结论就出来了： 。
这个东西一会儿使用得到的，在推导赫尔德不等
3、式的时候，杨不等式会是我们的利器。
还有积分形式。不得不说，这个所谓的积分形式是指能推出杨不等式，至于形式上，两个不等式并不相同：
设a>0,b>0，在连续且严增，，设反函数
则有
证明：考虑时（其他情况可设，再做一下变换）：
左边=
=】
如果令，取积分上限分别为，即可得到赫尔德不等式。
三、赫尔德不等式 （我暂时没找到这个不等式的积分形式。。。。。。。。）
非负实数若，
当p，q>1时
当p，q异号
4、时
证明：只需证明两种情况中的一种（不妨为第一种）：
首先，有如下关系：
再将这n项加和，即，再移项，即得赫尔德不等式。
同理，是另外一种情况的证明。】
当然，这个不等式也可以用加权不等式证明，具体证法还是见裴礼文。
四、闵可夫斯基不等式及其积分形式
非负实数，
当时，
当时，
证明：同样的，只考虑一种情况即可（不妨为第一种）：令
（做n次归纳）
两边同时开p次幂即可】
积分形式：当时，
当时，
证明方法类似，取即可，当然，对于p=2的情况，可以直接考虑两边平方，再用柯西不等式。
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