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导数在高中数学解题中的应用
高二年级数学组 钱洪永
摘要：导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义。导数的思想方法在高中数学解题中是非常重要的，在解决许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。文章着重运用导数的基本知识和理论，来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用。这对高中数学的教学具有一定的指导作用。
关键词：导数； 高中数学； 应用
1引言
导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。数的工具性微积分作为一种强有力的数学工具的地位是毋庸置疑的,而导数则以它优良的性质、广泛的用途扮演了重要的角色.以中学数学为例导数作为一个交汇点,联结起了函数、方程、向量、数列、不等式、解析几何等内容;并为解决这些提供了统一、有章可循的方法。导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决。高中新课程改革的背景下,导数知识作为高等数学微积分中的内容在高中课程中做铺垫,又对导数内容的教材进行了修改。课程改革是导数知识在实践中经历了变化与发展的过程。应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。我们应该把导数的工具作用发挥出来，在数学中应该加强导数的思想教学。
2 文献综述
2.1 国内外研究现状
在查阅到的文献资料中，大量学者对导数在高中数学中的应用有不同的见解，华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版中提到导数在高中求极值问题； 陈应昌在文献[2]中讲述了在导数在高中数学中单调性的应用；郭金芝在文献[3]中讲述了导数在高中数学中求极值的应用；李汉云、张丽娟、窦宝权等人在文献[4]-[9]中谈到国导数在高中数学中利用导数求函数解析式和利用导数画函数图像以及利用导数在求切线解析式的应用；周国球在文献[10]中讲述了导数在高中数学解题中应注意的方面；王淑茂 ，吴永清文献[11]中讲述了导数应用的几个误区和怎样才能避免这些误区发生；肖志向、朱家俊文献[12]-[13]中用导数法证明了不等式和等式；秦学锋文献[14]讲述了在求和数列中的应用；张红文献[15]详细讲述了导数的发展。
2.2 国内外研究现状评价
在查到的文献[1]-[15]中，作者分别从不同的方面说明导数的一些应用及应该注意的一些问题，但是都过于单调，不够完善，不能体现导数在高中数学的重要性及广泛性。
2.3提出问题
以上文献针对导数在高中数学的重要性，从导数的基本定义在高中数学的应用，从导数的定义在高中数学中不同的应用，但不够完善，本文将导数在中学数学中的应用进行了一个综合，更能体现导数在高中数学中的重要性及广泛性。
3 预备知识

导数的定义
（1）导数第一定义：设函数 在点的某个邻域内有定义，当自变量 在 处有增量 ( + 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 = - () ；如果 与 之比当 →0 时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限值为函数 在点 x0 处的导数记为 ,即 为导数第一定义
（2）导数第二定义：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量x 在 处有变化 时，相应地函数变化；如果 与 之比当时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限值为函数 在点 处的导数记为 ,即为导数第二定义
（3）导函数与导数：如果函数 在开区间I内每一点都可导就称函数在区间内可导。这时函数 对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 的导函数，记作。导函数简称导数。
4 导数在代数问题中的应用
(1)利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．
例1.设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．
解：因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，，从而，又函数在处取得极值，所以

解得，，所以所求函数解析式为．
(2)利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．
例2.求函数的值域．
分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域．
解：显然，定义域为，由于
，
又
，
可见当时，．所以在上是增函数．而，所以函数的值域是．
(3)利用导数求函数的最（极）值
求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握从而进一步明确了函数的性态．
一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：
(1) 求函数在上的极值点；
(2) 计算在极值点和端点的函数值；
(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
例3.求函数在上的最大值和最小值．
分析 先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值．
解：由于，则
当或时，，所以，为函数的单调增区间；当时，，所以为函数的单调减区间．
又因为，，，，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值．
(4)利用导数作函数图像
中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：
（1） 求出函数的定义域；
（2）考察函数的奇偶性、周期性；
（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)；
（4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)；
（5）考察渐近线；
（6）画图.
例4.作函数的图像.
解：(1) 函数的定义域
(2) 曲线与x, y轴交点分别为.
(3) 令 解得
令 解得
(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：

-5

-2

1

+
0
—
—
—
0
+

—
—
—
0
+
+
+

↗凹
80 极大
↘凸
26 拐点
↘凹
-28极小
↗凹
(5) 无渐进线
(-5，80)
（-2,26）
（-1，0）
0
（1，-28）
X
Y
0000
(6) 作图：

（1，-28）
（-1，0）
（1，-28）

图1
(5)利用导数求参数值
在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.
例 5.已知函数在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数的取值所组成的集合A
解：
又在[-1, 1]上是增函数
对恒成立, 即对恒成立.
设, 那么问题就等价于
即 故
所以
(6)研究方程的根
我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.
例6.若, 则方程在上有多少根？
解：设, 则

当且时, ,
故在上单调递减, 而在与处都连续, 且,
故 在上只有一个根.
导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.  
例7.(2005年山东卷)已知函数是函数的一个极值点, 其中, .
(1)求与的关系表达式；
(2)求的单调区间；
(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, 求的取值范围.
分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.
解：(1)
由是的一个极值点, 知, 即,

(2) 由(1), 得
由知, , 当变化时, 与的变化如下：

1

0

0

递减
极小值
递增
极大值
递减
由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增.
(3) 由已知得,即,即当时,有.①
设,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以即解之得, ,又,所以.即的取值范围为.
例8.（2012全国卷） 设函数
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，>0，求k的最大值
解：(Ⅰ)
当，，在是增函数；
当，当时，；当时，
所以在是减函数，在是增函数
(Ⅱ) a=1时，且当x>0时
；令，
由(Ⅰ)知在是增的，，所以在上存在唯一的零点，所以在上存在唯一的零点设为a，
当时，；当时，，所以在的最小值为。又得，所以，所以，k的最大值为2.
(7)导数在数列问题中的应用
数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.
例9.已知数列的通项, 求数列的最大项.
解：作辅助函数, 则.
令 得；
令 得或.
在区间上是增函数, 在区间是减函数.
因此, 当时函数取到最大值.
对, ,

所以数列的最大项为.
5 导数在解析几何问题中的应用
导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.
(1)利用导数求解切线方程
利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作：y是x的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆, 两边对求导, 则有, 所以在切点处的切线斜率.从而求出切线方程是.类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如, , 两边对求导, 可发现并不改变原程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是在中点处的值.

A
M
B

图2
例10.已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且点是弦的中点？这样的直线如果存在, 求出它的方程；如果不存在, 说明理由.
解：对两边求导, 得
(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程为
(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程为, 即,但与双曲线方程联立消去得, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的直线不存在.
点评：(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点
（2）证明与中点弦有关的不等式
我们已经学过椭圆的中点弦公式，已知椭圆，则中点弦所在直线方程为，下面就用导数的方法来证明与中点弦有关的不等式以及与中点弦有关的轨迹问题
例11.已知椭圆, 、是椭圆上两点, 线段的垂直平分线与轴交于点, 求证：.
证明： 设的中点是, 则中点在椭圆内,
所以 ①
对椭圆两边求导
有, 得
故中点弦的斜率, 所以线段的垂直平分线斜率满足：, 得.
代入①式得.
例12.已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点, 求线段中点的轨迹方程.
解:设线段的中点为.
对椭圆两边求导, 得=0
所以PQ的斜率为.又,
所以.
化简即得(在椭圆内的部分).
综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.
6 导数在实际问题中的应用.
正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题.
（1）成本问题
例13.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝，则BC＝，CD＝，（0＜＜），
∴AC＝50－ 甲
设总的水管费用为，依题意有： 河 A C D

＝ 图3 乙 B

令，解得：
根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，
此时，所以：
∴AC＝50－40＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
（2）制作容器
例14.在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
分析：设箱底边长为 cm，则箱高为cm，得箱子容积是箱底边长的函数，从而求得，令，求出一个值，这个值就是使容器的容积达到最大。

解：设此时底边的边长是，则高  ， （）
则

  令：，解得：

所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大，最大容积是16000cm³
这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
通过上述的例子，我们可以看到导数在中学数学的联系非常密切，它把各章的内容联系起来，合理的构造导数应用，可以使我们在做题时事半功倍，让我们彻底了解导数的意义和作用，是我们辅助分析和解决问题必不可少的工具
7 结论
7.1 主要发现
导数在高中数学中的应用越来越广泛，也越来越重要，对高中学生的要求也越来越高。本文在文献[1]-[15]的基础上，着重运用导数的基本知识和理论，来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用，并阐述了导数在一些解题中应该注意的问题。
7.2 主要启示
本文主要讲述了导数在一些代数和解析几何及实际问题的应用，结合实例阐述了在解题中应注意的问题，并寻找到一些解题的方法和技巧，使导数方法的思想更进一步扩大，丰富了导数方法的思想在高中数学的应用，这对高中数学的教学具有一定的指导作用。
7.3 局限性
本文用导数的基本理论和知识阐述了导数在高中数学中的应用，但由于导数的应用范围广，方法灵活多样，加之本人的水平和所查阅的资料有限，缺乏实际教学经验，未能将高等数学的相关知识用到高中数学中。
7.4 努力方向
鉴于导数应用的广泛性和多样性，我将在今后的工作和学习中，继续查阅相关资料，结合高中数学教学实际，寻求其它方法，并将高等数学的相关知识运用到高中数学中进行研究。

参考文献
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