数值分析试卷.doc

2013级建测学院《数值分析》期末试卷1
注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。
l 请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。
一、 填空题 （2 0×2′）
1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 位有效数字。
2. 设，‖A‖∞＝___ ____，‖X‖∞＝__ _____，
‖AX‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX‖∞的值) 。
3. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
4. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= ， f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。
5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。
7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： ；所以当系数ai(x)满足 ，计算时不会放大f(xi)的误差。
8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。
9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y=f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
11. 牛顿下山法的下山条件为 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ ，(i=0,1,…,n)。
13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 。
14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 、迭代计算。
二、 判断题(在题目后的( )中填上“√”或“×”。) （10×1′）
1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( )
2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( )
3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( )
4、 样条插值一种分段插值。 ( )
5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )
6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 　　( )
7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( )
8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( )
9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( )
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( )
三、 计算题 （5×8′+10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
xi
0
1
2
f(xi)
1
-1
3
f ’(xi)

1
5
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

4、设y=sinx，当取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数?
5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：
xi
-0.11
0.00
1.50
1.80
f(xi)
-1.23
-0.10
1.17
1.58
若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。
6、应用牛顿法于方程 ，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。（计算时小数点后保留4位)。

2013级建测学院《数值分析》期末试卷2
1. 数值积分公式形如（15）

(1) 试确定求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。
(2) 已知该求积公式余项试求出余项中的参数。
（1）解：时，左，右，左＝右得：
时，左，右，左＝右得：
时，左，右，左＝右得：
联立上述三个方程，解得：

时，左，右，左右
所以，该求积公式的代数精度是2
（2）解：过点0，1构造的Hermite插值，因为该求积公式代数精度为2，所以有：

其求积余项为：

所以，
2. 设初值问题 .

写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。（10分）
.解：改进的Euler公式是：

具体到本题中，求解的公式是：

代入求解得：,

3. 分别用梯形公式，复化梯形公式计算积分：

其中在用复化梯形公式求积分时，步长。（10分）
梯形公式为:

复化梯形公式为:

具体到本题中,可知
=
4.用改进的欧拉方法求解初值问题：

取步长，计算过程中保留到小数点后四位。（10分）
.改进的Euler公式为:

具体到本题中,则为

经化简为:

所以:
0

5.证明: 设,左=右
左=右
,右,左右
所以,该公式具有一次代数精度.
6. 用两点Gauss-Legendre求积公式求积分
解：两点Gauss-legrende求积公式为：

所以

7. 用欧拉法求解常微分方程组初值问题：（10分）

在[0,0.4]上的数值解,取步长，计算过程中保留两位小数。（10分）
Euler公式为:

具体到本题中,则为

又因为：
所以上述求解公式可化简为:

所以:
；
8.分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：

的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。(15分)
.解:Jacibo迭代公式为:

Gauss-Seidel迭代公式为:

(2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中

所以, Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵

可求得
所以,
所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.
9.证明(10分)
1.设,已知插值节点且,,证明:
(1)在上的线性插值函数的误差界为

(2)二次插值多项式的误差界为

1证明: 因为是在上的线性插值函数
所以有插值余项公式可知其插值余项为：，其中
即：
令，
易知：，所以：

10 证明: 因为是在上的二次插值多项式
可知其插值余项为：，其中
即：
令，
令

令，则
所以，

11．用Euler方法求解初值问题
取在区间计算,结果保留到小数点后4位。(10分）
.解：Euler公式是：

具体到本题中，求解的Euler公式是：

代入求解得：

12. 用LU分解法解线性方程组（10分）

解，设A可以三解分解，即

由矩阵的乘法及矩阵相等可得：
，
令
求解三角方程组：，得：
求解三角方程组：，得：
所以，原方程组的解为：
13试证明线性二步法：

的局部截断误差与同阶，并求出截断误差的首项。
证明：分别将，，在处用Taylor公式展开得：

将以上三式代入线性二步法中，得：

又方程的真解的Taylor展式为：

所以，局部截断误差为：

所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：

10