数学单元自主学习指导纲要.doc

北宋一中数学单元自主学习指导纲要

课题：人教版初中数学八年级下册第十八章《勾股定理》
一、 教材分析
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如我们七年级学习的“直角三角形中两个锐角互余”，八年级上册学习的“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半” 等。本章所研究的勾股定理揭示的是直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的用途，有人称之为“千古第一定理”。勾股定理的逆定理是利用三角形三边的数量关系来判定其是否为直角三角形的方法，而在此之前，我们判定一个三角形是直角三角形，只能用定义，即证明三角形中有一个角是直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直。勾股定理及其逆定理在几何证明中作用很大，在实际生活中用途也很广泛，所以大家一定要努力学好。
【设计意图：这一部分为本单元所要学习的主要内容及其与前后章节的联系。新课标指出：教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。同时整个学段教材内容的设计有螺旋式上升的特点，因此让学生及时复习和总结相关联的知识点，可以让学生更好地感受数学的整体性，这符合学生的认知规律。】
学完本单元后，你就能解决“已知直角三角形两边求第三边”的问题，也能“利用三角形的三条边的数量关系判定直角三角形”，进而可以解决很多生活中的实际问题；当然，还可以掌握利用“面积法”证明几何问题的数学方法；还有，中国对勾股定理的研究做出了巨大的贡献，其中最出名的人你知道是谁吗？学完本单元后，老师相信你都可以一一掌握的。
【设计意图：新课标要求通过义务教育阶段的数学学习，学生要在知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度四个方面达到目标，也就是大家平时所说的三维目标。而学生对以上这种比较通俗的目标设定更易接受，不至于感觉枯燥。让学生带着目标去预习教材，便可以做到有的放矢了。】
“操作＋思考”的学习方式符合你们这个年龄段学生的认知水平，充分动手、动脑，主动探索获取新知，与同学们合作交流都是很好的学习数学的方法。还有，你知道吗，勾股定理的证明方法有近五百种之多呢，所以说，条条大路通罗马，解决问题之道不限于一种，我们也应该学习这种从多种角度入手解决问题的策略。
【设计意图：有效地数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。因此，教给学生学习本单元所应该具有的数学方法和策略，可以达到事半功倍的效果，也可以使学生养成良好的学习习惯。】
二、 知识构建
仔细阅读教材内容，了解基础知识及探究的任务，完成下列表格。

内容
证明方法
用途

勾股定理

勾股定理
的逆定理

温馨提示：1.教材将勾股定理的探索过程设计为梯度式，先从等腰直角三角形入手，发现规律后，再探究一般直角三角形是否满足规律，预习时要注意这种循序渐进的探索方式。
2.为了在课堂上探索勾股定理的证明过程，我们需要两个边长分别为a、b的正方形，请你提前准备好，并用胶布把它们如图粘在一起。
【设计意图：知识建构是单元预习的重点，也是学生思维火花绽放的体现。先让学生从总体上对本单元内容有大体的了解，再通过自己的探索与思考，抽取出每课时的重点内容进行首次认定，从而把握本单元知识的设计脉络。然后提出自己的疑难问题放于展台之中，使老师对学生的预习程度做到心中有数，也使学生的学习更为主动和积极。】
三、背景知识
（一）中国对勾股定理的研究所做的贡献
1. 《周髀算经》的记载：中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话。周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没办法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要数学原理了，以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，我们中国把这个定理称之为“勾股定理”或“商高定理”。
2．赵爽弦图：“赵爽弦图”表现了我国古代人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论上的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM-2002）会徽。这会徽既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
【设计目的：在教学中，应注意展现与勾股定理相关联的背景知识，使学生对勾股定理的发展历史有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别是通过向学生介绍我国古代人民在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。】
（二）西方对勾股定理所作的贡献
1．《几何原本》的记载：在西方，数学著作《几何原本》中记载，这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以西方把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，因此这个定理又有“百牛定理”之称。
2．勾股定理与第一次数学危机：约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长度不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕达哥拉斯学派的哲学信念“万物皆（有理）数”大相径庭，而且建立在任何两条线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，在当时直接导致了人们认识上的危机，历史上第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐和恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。如果没有希帕索斯的发现，“无理数”的概念也不会那么早就引入到数学研究中去。正因为希帕索斯发现了无理数，数的概念才得以扩充。从此，数学的研究范围扩展到了实数领域。
3．一位总统与勾股定理的不解之缘：在1876年一个周末的傍晚，美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么，只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问：“你们在干什么？”只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
【设计意图：亚里士多德说过：热爱真理的人在没有危险时爱着真理，在危险时更爱真理。为了追求真理，数学家希帕索斯献出了宝贵的生命。通过这组背景知识，我要告诉学生：追求真理，不分国界，也不分贫富贵贱，真理永远掌握在勇于探索、不畏艰险的人手中。借此背景来培养学生勇于探索、不怕困难、坚持不懈的优秀品质。】
（三）欣赏美丽的勾股树
右边这幅图片我们称它为勾股树。仔细观察勾股树，你能发现它是按照怎样的规律形成的吗？
【设计目的：经过人们的不懈努力，勾股树开出了无数朵美丽奇葩。设计这个背景知识的目的是让学生体会数学的魅力与神奇，培养学生的观察力与想象力，开拓同学们的眼界，激发同学们的学习兴趣和求知欲。】
四、 问题展台
根据自己的预习情况，提出疑惑问题（至少两个），交予组长汇总。

课时1：勾股定理及证明（64页-66页）
课时2：勾股定理的应用（66页-68页）
课时3：勾股定理的应用（68页-69页）
课时4：勾股定理的逆定理

复习课

疑惑问题

【设计意图：学生将预习中所遇到的疑惑问题摘录在此，再由组长汇总交予老师，教师在课时备课时进行分类归纳，确定目标。老师要特别关注提出有价值问题的小组，上课时要及时表扬，以此来激励同学们认真预习。】
五、学习评价
（一）自我评价
你可以根据自己的预习情况，写出你的收获、反思、感悟等。

（二）组长评价
根据组员对知识建构、背景知识、问题展台的圈点勾画、所提问题等情况给你的组员打出相应的等级： A B C D
（三）教师评价

【设计意图：评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。这里仅对学生的自主预习做出适当的评价。自我评价可帮助学生逐步学会认识自我，学会管理自己，养成主动学习的习惯。组长评价则是让学习组长对本小组的同学做出适当的评价，让组长对落后同学进行督促和帮助，使全组成员团结一致，互帮互助，形成良好的学习氛围。教师评价则是教师根据学生对单元指导纲要的预习情况，对学生给予语言上的激励，保护学生的自尊心和自信心。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。】
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