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立体几何
一、知识提炼
1.四大公理和空间直线
【双基提炼】
平面是几何中最基本的概念之一.在数学中,对这一类概念一般不加以定义而只进行描述.
平面是无限的.因此,“延展平面”与“延长直线”的说法都是错误的.
我们通常把平面画成平行四边形或三角形.
四大公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3:经过不在同一直线上的三点, 有且只有一个平面.
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线, 有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线, 有且只有一个平面.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
四大公理,支撑着空间世界的骨架.
四大公理,立体几何的逻辑基础和推理依据.
异面直线的定义:不能同在一个平面内的两条直线是异面直线.
那么,怎样判定两条直线是异面直线呢?
方法一:根据异面直线的定义.
方法二:(异面直线的判定定理)过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.
方法三:反证法.
反 证 法
反证法是一种十分重要的证明方法,它在立体几何的证明中有着广泛的应用,熟练地运用反证法是学习立体几何的必备基础之一.
如何用反证法证题呢?它的一般步骤为:
(1)反设:即作出与命题结论相反的假设;
(2)归谬:由所作的假设出发,通过正确的推理,导出矛盾;
(3)判断:断定产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的,因此证得原来命题结论的正确性.
反证法不同于由因导果的综合法和执果索因的分析法.它是一种间接证法,由于它的主要特征是“导出矛盾”,因此又叫“归谬法”.
在进行反设时,要注意与原结论相反的方面是只有一种情形还是有若干种情形.如果只有一种情形,那么只需就这种情形去导出矛盾;如果有若干种情形,那么必须针对每一种情形分别去导出矛盾,后者又称为“穷举归谬法”.
怎样才算归结到谬误,导出矛盾呢?一般地说,从所作的假设出发,导出的结果符合下列条件之一者就是“归谬”:
(1)与已知条件相矛盾;(2)与已知公理,定理相矛盾;(3)与所作的假设相矛盾;(4)与已知定义相矛盾;(5)导出了两个互相矛盾的结果.
在归谬的过程中应当注意:推理过程必须是完全正确的.因为错误的推理导出的矛盾并不能由此断言假设的不正确.另外,必须重视题设中已知条件的使用,没有使用已知条件要导出矛盾的结果是不可能的.

平面图形直观图的画法原则:横时长,竖时半,画角才好看.

2.直线与平面平行的判定和性质
【双基提炼】
如果一条直线和一个平面没有公共点,则说这条直线和这个平面平行.
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

(1)直线在平面内----有无数个公共点;
(2)直线和平面相交----有且只有一个公共点;
(3)直线和平面平行----没有公共点.
把“直线和平面相交”或“直线和平面平行”的情况统称为“直线在平面外”.
直线与平面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
判定定理表明,通过“线线平行证明线面平行”,这是低维升向高维的理论依据.
直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
3.直线与平面垂直的判定和性质
【双基提炼】
直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就称这条直线和这个平面垂直. “任何一条直线”与“所有直线”是同意语.
直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

4.斜线、射影、角和距离
【双基提炼】
斜线:和平面相交且不与垂直的直线叫做平面的斜线.斜线和的交点叫做斜足,斜线上一点和斜足之间的线段叫做这点到平面的斜线段.
射影:过斜线上的一点向平面引垂线,经过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影.垂足和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在平面上的射影.当直线⊥平面时,直线在平面内的射影就是和的交点.斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
垂线段和斜线段长定理:垂线段最短;射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长,反之亦然.
直线和平面所成的角:一条直线和平面平行,或直线在平面内,规定直线和平面成角.
直线和平面所成角的范围是:.
斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角(射影角最小).
5.三垂线定理及其应用
【双基提炼】
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它
也和这条斜线垂直.
已知:分别是平面的垂线,斜线,是在平面上
的射影.(如图).
求证:.
证:.
三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.这两条直线可以是相交直线,也可以是异面直线.
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
对于平面内的直线来说, 三条直线都是它的垂线,所以命名为三垂线定理.
应用三垂线定理及其逆定理时,必须注意-----
(1)要掌握三垂线定理及其逆定理的证明方法.
三垂线定理及其逆定理是把线面垂直的判定定理和线面垂直的定义作为性质定理联合使用时,用定理的形式固定下来.因此三垂线定理及其逆定理的证明途径都是通过证明“线面垂直”而证得“线线垂直”,即通过证明而证得或的.
凡是能用三垂线定理及其逆定理证明的“线线垂直”,必定可以通过证明“线面垂直”来证得.但是前者往往更为简捷.
(2)要善于识别变式图形中由三垂线定理及其逆定理所确定的直线和直线的垂直关系.
用这两个定理来确定两条直线和垂直关系时,首先要把其中一条直线看成是某一平面内的直线,另一条直线是这个平面的斜线,或是某一条斜线在平面内的射影;其次是确定斜线上某一点所引的这个平面的垂线和垂足;最后按定理的条件得出两条直线的互相垂直.

6.两个平面平行的判定和性质
【双基提炼】
如果两个平面没有公共点,则说这两个平面互相平行.
两个平面的位置关系只有:(1)两平面平行-----没有公共点;(2)两平面相交-----有一条公共直线.
两平面平行的判定定理:如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 以下结论,可以看作是两个平面平行的性质定理,在解题过程中可以直接引用:
结论1:垂直于同一条直线的两个平面平行.
结论2:两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
结论3:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
结论4:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
结论5:经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

7.两个平面垂直的判定和性质
【双基提炼】
两平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的性质定理(一):如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
两个平面垂直的性质定理(二):如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
8.二面角及其平面角(理科)
【双基提炼】
一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
有关二面角的问题,一般地,总要先找到并作出它的平面角.
找二面角的平面角的常用方法有:
(一)定义法 由图形的特殊条件,按定义直接作出,如由两个
同底,等腰的三角形构成的两个平面的二面角,只需取底边
的中点,如在空间四边中,,二面角
的大小,如图.只需取中点,连结,则
便是二面角的平面角.
(二)垂线法 利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理直接作平面角.
(三)垂面法 通过作二面角棱的垂面,此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.
(四)延伸法 若所求二面角的两个面只有一个公共点是已知的,因此要把两个面延伸而得到二面角的棱,然后在求出它的平面角.
(五)射影法 若多边形的面积为,它在一个平面上的射影的面积为,则多边形所在平面与这个平面所成的二面角,满足.利用这个公式求二面角的方法称“射影法”.射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.
9.平面图形的翻折和拼接
双基提炼】
将平面图形按某种要求翻折成空间图形时,原来平面图形中的某些点,线位置关系将发生相应的变化,研究这种变化不但可以提高综合运用知识的能力,而且有助于发展空间想象能力.
然而,在翻折以后,总有一些量没有变化,而这些没有发生变化的量,在解题过程中往往起着重要的作用.抓住了这变与不变,便是把握住了翻折问题的灵魂.
解答有关翻折问题的思路是:
翻折
平面
空间
转向
平面

解答有关翻折问题的规律是------
1.根据题设画出明确的示意图,尽量地直观和形象;
2.将翻折前后的两图对照,查一查哪些量变了, 哪些量没有变;
3.添加的辅助线常常是从某点向轴(折痕)作垂线或从某点向另一平面作垂线.
二、经典好题
1.直线与平面平行的判定和性质
1、如图所示,设是确定的平面外一点,,又分别是之中点.(1)求证:面;(2)求异面直线与的距离.

2、如图,空间四边形被一平面所截,截面为矩形.(1)求证:面;(2)求异面直线所成的角.

3、如图所示,与均为正方形,为对角线上的一点,为对角线上的一点,且满足,求证:面.

2.直线与平面垂直的判定和性质
1、如图,为所在平面外一点,,且.(1)求证:点与斜边中点的连线面;(2)若直角边,求证:面.

2、如图所示,已知矩形所在的平面,分别是的中点,,求证:(1);(2)面.

3、如图,已知是矩形,面,面,经过的平面分别与交于,求证:是直角梯形.

4、在空间四边形中,是的中点,求证:平面.

5、如图,已知是所在平面外一点,且满足面是中点,是上的点,.(1)求证:;(2)当,时,求的长.

3.斜线、射影、角和距离
1、设为平面外的点,若两两垂直,,为的中点.求(1)与平面所成的角;(2)与平面所成角的正弦值.

4.三垂线定理及其应用

1、如图,是所在平面外一点,两两垂直,是的垂心,求证:面.

5.两个平面垂直的判定和性质

1、如图,已知矩形所在的平面,分别为的中点.(1)求证:;(2)若平面与平面成角,则平面.

6.综合应用
1、如图所示,四棱锥中,平面,底面为正方形,为的中点,.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)边上是否存在一点,使得∥平面?若存在,求的长;否则,说明理由.

2、在四棱锥中,平面,为的中点,且满足.(1)求四棱锥的体积;(2)若为的中点,求证:平面;(3)求证:∥平面.

3、如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面,是的中点.(1)证明:∥平面;(2)求以为轴旋转所围成的几何体的体积.

4、正方体中,分别是的中点.(1)求证:平面平面;
(2)在棱上是否存在点,使∥平面?若有,确定点的位置;若没有,说明理由.

5、如图,四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱底面,且是侧棱上的动点.(1)求四棱锥的体积;(2)如果点是的中点,求证:∥平面;(3)是否不论点在侧棱的任何位置,都有?证明你的结论.

6、已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)若为中点,证明:∥平面;(2)求这个几何体的体积.

7、如图,在直三棱柱中,分别为的中点,四边形是正方形.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面.

8、如图,平行四边形中,,将沿折起到的位置,使平面平面.(1)求证:;(2)求三棱锥的侧面积.

9、如图所示,是以正方形为底面的正四棱柱被一个平面所截得的几何体,四边形为截面,且满足.(1)试证明:截面四边形是棱形;(2)求几何体的体积.

10、如图,在矩形中,为的中点;将沿折起,使平面平面;再过作∥,且.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正切值;(3)求点到平面的距离.

11、已知直三棱柱的所有棱长都相等,且分别为的中点,如图所示.(1)求证:平面∥平面;(2)求证:平面.

12、在长方形中,分别是的中点,如图所示.将此长方形沿对折,使面面,已知分别是的中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.

(理科)13、已知菱形的边长为,对角线与交于点,且为的中点.将此菱形对角线折起成直二面角.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的余弦值.
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