在求函数自变量取值范围时.doc

在求函数自变量取值范围时，一些学生常常出现这样或那样的错误，现将几种常见的错误分类举例说明如下，供学习时借鉴。
　　一、随意变形
　　例1(2001年甘肃省中考题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：∵y==
　　∴x2-4≥0，解之得x≥2或x≤-2。
　　剖析：因为变形后的函数y=与变形前的函数y=，自变量取值范围不同，故出现错解。
　　正解：要使函数有意义，必须
　　，解之得x≥2。
　　∴自变量x的取值范围为x≥2。
　　二、随意约分
　　例2(2001年泰州市中考模拟题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：因为y=，所以自变量x的取值范围为x≠-3的一切实数。
　　剖析：由于同时约去了分式函数中分子分母的公因式(x-2)，使原函数变形为y=，从而改变了原函数自变量x的取值范围而出错。
　　正解：要使函数有意义，必须x2+x-6≠0，即(x-2)(x+3)≠0，∴x-2≠0且x+3≠0，∴x≠2且x≠3。
　　三、以偏概全
　　例3(2001年黑龙江省中考题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：要使函数有意义，必须2x+1≥0，∴x≥-，这就是自变量x的取值范围。
　　剖析：上述解法只考虑了二次根式下被开放数应为非负数，而未考虑分母≠0，从而以偏概全造成解题错误。
　　正解：要使函数有意义，必须
　　，∴
　　因此自变量x的取值范围是x≥-且x≠1。
　　四、混淆或与且
　　例4(2001年全国重点名校中考模拟题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：要使函数有意义，必须x2-7x+12≠0，即(x-3)(x-4)≠0，∴x≠4或x≠3。
　　剖析：“或”是指两件事情中只有一件发生，因而x≠3与x≠4只有一个式子不成立，并不能保证(x-3)(x-4)≠0一定成立；而两件事情同时发生要用“且”。
　　正解：答案为x≠3且x≠4。
　　五、忽视实际意义
　　例5(2001年全国名牌大学附中初三数学考试训练题)一个等腰三角形的周长为12cm，底边长xcm，腰长ycm，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
　　错解：∵x+y+y=12，∴y=6-x。∵x＞0，又等腰三角形的周长为12，∴x＜12。故自变量x的取值范围为0＜x＜12。
　　剖析：在解此实际问题时，应该考虑“三角形两边之和大于第三边”，由于忽视了这一点，因而求函数自变量x的取值范围出现错解。
　　正解：先求得y=6-x，∵x＞0，又y+y＞x，∴2y＞x，即2(6-x)＞x，∴12-x＞x，2x＜12，x＜6，故函数自变量x的取值范围是0＜x＜6。
中考第一轮复习之一元二次方程错例剖析
一、 忽视一元二次方程的定义
例1：下列关于x的方程：① ②③④。其中是一元二次方程的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
错解：选B项
剖析：要判断一个方程是一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。三个条件缺一不可。而在解答过程中，忽视了任何一个条件都会导致错解。对于方程①，因为没有这个条件，所以不一定是一元二次方程；方程②不是整式方程；④不是方程，是代数式；只有③是一元二次方程。
正解：选A项。
二、 忽视一元二次方程中这一条件
例2：如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，求m的值
错解：

剖析：在求一元二次方程中某一字母的值时，一定要考虑满足方程唯物一元二次方程，即二次项系数不能等于0这一条件
正解：

三、两边约去含有未知数的代数式，导致失根
例3：解方程：
错解；

剖析：在解方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则可能产生失根。
正解：

四、 分析问题不全面，导致漏解
例5：若关于x的方程 有实数根，求m的取值范围
错解：

剖析：解题时，要先看清题意，不要盲目的认为有实数根就是一元二次方程，而本题当m=0时，方程为一元二次方程，同样也有实数根。
正解：

初中數學趣題
甲乙两人去买商品，已知两人购买商品件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共花费172元，问单价是9元的商品有多少件？
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初中数学趣题
悬赏分：0 - 解决时间：2009-7-30 08:17
有人用100元，买100头牛，大牛每头10元，小牛每头5元，牛续每头半元，问此人买大牛，小牛，牛续各多少只？
古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把11头牛分给三个儿子，老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的.按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分．三兄弟为此一筹莫展，你能帮助他们解决问题吗？
初中数学里常用的几种经典解题方法
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· 1、配方法
　　所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
　　2、因式分解法
　　因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
　　3、换元法
　　换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
　　4、判别式法与韦达定理
　　一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
　　韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
　　5、待定系数法
　　在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
　　6、构造法
　　在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
　　7、反证法
　　反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
　　反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
　　归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
　　8、面积法
　　平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
　　用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
　　9、几何变换法
　　在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
　　几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
　　10.客观性题的解题方法
　　选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
　　填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
　　要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
　　（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
　　（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。
　　（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
　　（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
　　（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
　　（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。