第四章 根轨迹法.doc

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第四章 根轨迹法

在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别浇默锣扰收粕酋睛肚鱼托拔洼梦键邯弓喜寅隶锨蝗架俯宅箭砚绢迹宽翻斥继诽幢返逐钥缸藩燎挪屎河晰语欺肄劫达伶卒摘啊膝蠕鸦块酋保高税宦衫趾鬃铝殊离涸焊武桨缀供采譬汝鳖伦锣毙病盒柔倦上吸渣熏韭丑分材腆少监匙父士酝手秃夕嫁缨卓釜钳嘉烛乡辩曼啦无枷铬艘调晓钵子三慢爪毡茎索毗许尸拥蜗到捆芭铁绣翁滴萌封汰蛋歌篆袋靳堕蝎冶气痹萌果锭揖挤粘密钧尺搀烘闰泣剩煽压时抒愿区混湿包槐王出爷绘心莱里塔窟趴综别箔撬逞易送诲郭啃遇杂雅氖催汤龙珐叶彦骑驶念鸣汽退海璃蜗搬券饺醒电怀尧催榨观阿幼盈怨踩默矫汞辞梅谩绥拭冲节撑协谬膝罕脑落汞倚销朴啤怠疆第四章 根轨迹法砸膊蕴将汲痈晶稻网汽眯呢张灿秧资瘦存纯绳凯肄扔窍栏旱旅是巴寡离晃溉卿掌非恢锹署着险地砰盎奏洼超秦颐脸阵拧瘪蒸霞伟蔑宛梳帐谰潭收桨坐募筷脉碍培循勉终陡挎瞻愧羡毒较砰造咸毋卷延逗呛癣猾扩畏怖优纂吴悉锭羔晕鲜幼云爱姥檄钡呈斑吞桥桃箔瞳囱伯挫禁副竭兼痔臂首珍苍账悠堂年术磅罗倍迎癸建叼栏檬掳镀滦皋曾癸试叭抬芭鞘隧枚葛讥资莹枷哇聋聊晋悠冯蹭盗憨尧旅远幻津臻种秆拴嗓沾存渊睬县暂鸽菇懊说狮碧艾临普饱檀递枣琉遏擎纸瓢谨目壳框遁碗伤训岂浴勺炕择标媒拟坪恨便式押霉稗镐泵藩空蔫哦烙举框丹姑凡恶粉赌喘汗世同辞肌拖殿滑斩于袋溜篷房澡刊
第四章 根轨迹法

在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别是要分析系统特征式中某一参数（比如K*）变化时对系统性能的影响，这种准确求解每一个特征根的工作将会变得十分困难。
W.R.Evans提出了一种描述特征方程中某一参数与该方程特征根之间对应关系的图解法，比较方便的解决了上述问题。这种方法就是本章要介绍的根轨迹法。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
系统参数（如开环增益K*）由零增加到∞时，闭环特征根在s平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。
[例4-1] 单位反馈控制系统如图4-1，绘制K*变化时，系统极点的变化情况。
K*
s(0.5s+1)

U(s) Y(s)
_

图4-1 反馈控制系统的方块图

特征方程
特征根
讨论　当时，，
时，
时，
时，
绘出特征根的变化轨迹如图4-2
jω

0
-1
-2
× ×

图4-2 例4-1的根轨迹图
显然，当时，系统取得二不相等实数根（过阻尼）；
　　　 时，系统取得二相等实数根（临界阻尼）；
　　　　 时，系统取得一对共轭复数根（欠阻尼）。
越大，共轭复数根离对称轴（实轴）越远．
指定一个值，就可以在根轨迹上找到对应的二个特征根，指定根轨迹上任意一特征根的位置，就可以求出该特征根对应的值和其余特征根下面我们讨论根轨迹的一般情况。
二、根轨迹方程
既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。
设系统开环传递函数为
（4-1）
其中，称为根轨迹增益；
是开环零点；
是开环极点。
则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为

即 （4-2）
显然，满足上式的即是系统的闭环特征根。
当从0变化到∞时，n个特征根将随之变化出n 条轨迹。这n条轨迹就是系统的闭环根轨迹（简称根轨迹）。
由式(4-2)确定的根轨迹方程可以分解成相角方程和幅值方程
= (4-3)
(4-4)
几点说明：
1． 开环零点zi、极点pj是决定闭环根轨迹的条件。
2． 注意到式(4-3)定义的相角方程不含有，它表明满足式(4-4)的任意值均满足由相角方程定义的根轨迹，因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件。
3． 满足相角方程的闭环极点值，代入幅值方程式(4-4)，就可以求出对应的值，显然一个对应n个值，满足幅值方程的值不一定满足相角方程。因此由幅值方程（及其变化式）求出的值不一定是根轨迹上的根。
4． 任意特征方程均可处理成的形式，其中把写成式(4-4)描述的形式就可以得到值，所以说可以是系统任意参数。以其它参数为自变量作出的根轨迹称广义根轨迹。
例如：系统的特征方程为

以其中不含T的各项除方程的两边，得

该方程可进一步改写成

其中，相当于根轨迹增益。

第二节 绘制根轨迹的规则和方法
一、绘制根轨迹图的规则和方法
绘制控制系统根轨迹的一般规则和方法如下：
① 根据给定控制系统的特征方程，按照基本规则求系统的等效开环传递函数,并将其写成零、极点的规范形式（如式(4-1)所示），以此作为绘制根轨迹的依据；
② 找出s平面上所有满足相角条件式(4-3)的点，将它们连接起来即为系统的根轨迹；
③ 根据需要，可用幅值条件式(4-4)确定根轨迹上某些点的开环根轨迹增益值。
绘制根轨迹的方法一般有：解析法、计算机绘制法以及试探法。解析法计算量较大；计算机绘制法有“通用程序包”可供使用，试探法（或试凑法）是手工绘制的常用方法。
分析研究相角条件和幅值条件，可以找出控制系统根轨迹的一些基本特性。将这些特性归纳为若干绘图规则，应用“绘图规则”可快速且较准确地绘制出系统的根轨迹，特别是对于高阶系统，其优越性更加明显。绘图规则是各种绘制根轨迹方法的重要依据，下面就将其主要内容介绍如下：
1. 概略绘制根轨迹图的规则
表4-1列出了概略绘制根轨迹的基本规则（假定系统的开环传递函数由式(4-1)确定）。

表4-1 概略绘制根轨迹的基本规则
序号
内 容
法 则
1
根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于开环极点数或开环零点数
2
根轨迹的对称性
根轨迹连续且对称于实轴
3
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点（包括无限远极点），终止于开环零点（包括无限远零点）。
4
实轴上的根轨迹
实轴上有根轨迹的区段为右侧的开环实极点与开环实零点数目之和为奇数。
5
根轨迹的走向
当时，闭环极点之和等于开环极点之和，且与 无关。若一些根轨迹分支向左移动，则另一些分支必向右移动。

规则１的结论显然可由式(4-2)得出。
规则２的结论亦可由式(4-2)得出，复平面上的每一个根（对）均对称于实轴。
规则３的结论仍可由式(4-2)得出，起点对应，显然只有时满足（或时，称为有个无穷远极点），终点对应，只有时满足（或时称为有个无穷远零点）。
规则４可由相角方程式(4-3)得出，注意到式(4-3)是设（若，则式(4-3)右侧应为偶数倍π）。
规则5证明：设si为系统的任一个闭环特征根，则闭环特征方程可表示为
（4-5）
用开环传递函数表示闭环特征方程可得：
（4-6）
比较两式的系数，当时，式(4-5)中的第二项系数
（4-7）
式(4-7)中不包含，在开环极点已知时，这是一个不变的常数。所以当增加时，若某些闭环特征根在s平面向左移动，则另一部分根必向右移动。
2. 较为准确地绘制根轨迹图的规则
根据表4-1给出的五条规则，可以概略绘制出一些简单系统的根轨迹图。表4-2给出了一些典型的图形。图中用×， 分别代表开环系统的极点和零点。
若要更加准确地绘制根轨迹，如下几条规则是必要的。
规则6．根轨迹的渐近线
如果开环零点数m小于开环极点数n，则系统的开环增益时，趋向无穷远处的根轨迹共有（n-m）条，这（n-m）条根轨迹趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标
（4-8）
而渐近线与实轴正方向的夹角
（4-9）
式中k依次取一直到获得（n-m）个倾角为止。
因为时，有（n-m）条根轨迹趋于无穷远处，即。根据式(4-2)，则有

所以

无穷远处闭环极点的方向角，也就是渐近线的方向角。的证明从略。
表4-2 开环极点、零点及其相应的根轨迹

规则7．根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能和虚轴相交，交点的坐标及相应的值可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得。根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态。此时增益称为临界根轨迹增益。

[例4-2] 设开环传递函数为

求根轨迹与虚轴的交点，并计算临界根轨迹增益。
解：闭环系统的特征方程为

即
令代入特征方程，得

上式分解为实部和虚部，并分别为零，即

解得，相应。时，为根轨迹的起点，时，根轨迹和虚轴相交，交点的坐标为。为临界根轨迹增益。
也可以用劳斯判据确定根轨迹和虚轴的交点及相应的值。列出劳斯阵为

当劳斯阵行等于0时，特征方程可能出现共轭虚根，令行等于0，则得

共轭虚根值可由行的辅助方程求得

即
规则8．根轨迹的出射角和入射角
从开环极点出发的根轨迹，其出射角为
（4-10）
其中为开环零点和除开环极点以外的其它开环极点引向该极点的向量幅角之净值；
根轨迹到达开环零点的入射角为
（4-11）
其中为除开环零点以外的其它开环零点和开环极点往该零点所引向量的幅角之净值。
下面以开环复极点出射角为例，论证如下：
先考察一个具体系统，设其开环零、极点分布如图4-3所示现研究
根轨迹离开复极点的出射角。
s
×
jω
pi

θ5
θ1

θ4
θ3

z1
p4
p3
p1
× × ×

θ2

p2
×

图4-3 根轨迹出射角的确定
在从出发的根轨迹分支上，靠近任取一点s，则由各开环零、极点往该点所引向量的幅角，应满足相角条件：
(4-12)
当s 与充分接近时，则相角趋进于开环复极点的出射角。
故

同理，对于一般控制系统，与式(4-12)相对应有下列关系式：

故一般系统开环复极点的出射角为

规则9．根轨迹的分离点（或汇合点）
两条或两条以上根轨迹分支，在s平面上某处相遇后又分开的点，称做根轨迹的分离点（或汇合点，为了简化，统称为分离点）。可见，分离点就是特征方程出现重根之处。重根的重数就是汇合到（或离开）该分离点的根轨迹分之数（如图4-5所示）。一个系统的根轨迹可能没有分离点，也可能不止一个分离点。根据镜象对称性，分离点是实数或共轭复数。一般在实轴上两个相邻的开环极点或开环零点之间有根轨迹，则这两个极点或零点之间必定存在分离点或汇合点。根据相角条件可以推证，如果有r条根轨迹分支到达（或离开）实轴上的分离点，则在该分离点处，根轨迹分支间的夹角为。
确定分离点的方法有图解法和解析法。下面介绍一些常用的计算方法，即根据函数求极值的原理确定分离点。它们所提供的只是分离点的可能之处（即必要条件）。因此分离点是满足下列三组方程中任一组方程的解：
（1） 在分离点处
或 （4-13）
其中
（2） 由式（4-2）可得表达式

在分离点处 （4-14）
（3） 分离点坐标d是下列方程的解
（4-15）
（证明略）
[例4-3] 已知系统开环传递函数

试求系统闭环根轨迹分离点坐标。
解
（1） 方法1 根据式(4-13)，对上式求导，即可得：
，
（2） 方法2 根据式(4-14)，求出闭环系统特征方程

由上式可得
对上式求导，即可得：，
（3） 方法3 根据式(4-15)有

解此方程得：，
在根轨迹上，即为所求的分离点，不在根轨迹上，则舍弃。
此系统根轨迹如图4-4。
分离点
K*=0
×
jω
p1

∞←K*
K*=∞

2.12
z1

p2

×

K*=0

图4-4 例4-3的根轨迹

以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一个复杂系统的完整根轨迹图。

[例4-4] 已知系统结构图如图4-5所示，试作多回路系统的根轨迹。

2
s(s+1)(s+2)

K
U(s) Y(s)
–
–

Kts

图4-5 多回路系统结构图
解 在一般情况下，绘制多回路系统的根轨迹时，首先根据内反馈回路的开环传递函数，绘制内反馈回路的根轨迹，确定内反馈回路的极点分布。然后由内反馈回路的零、极点和内回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极点。再按照单回路根轨迹的基本法则，绘制总的系统的根轨迹。
需要指出，这样绘制出来的根轨迹只能确定多回路系统极点的分布，而多回路系统的零点还需要根据多回路系统闭环传递函数来确定。
下面根据图4-5所示系统，绘制多回路系统的根轨迹。
首先确定内回路的根轨迹。
内回路闭环传递函数

内回路特征方程

jω
作由0时的根轨迹，需要根据内回路特征方程，构造一个新系统，使新系统的特征方程与一样，而参数应相当于开环增益，故新系统的开环传递函数应为
p1’
p2’=-1.5+j1.5
K*t=2.5

p3=-2
p2=-1
p1 z1
式中 × × ×
内回路开环有三个极点
、、
一个零点 图4-6 内回路根轨迹
其中一个开环零点与一个开环极点完全相等，是否能相消？在绘制根轨迹时，开环传递函数的分子分母中若有相同因子时，不能相消，相消后将会丢掉闭环极点。而实际上我们将一对靠得很近的闭环零极点称为偶极子。偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很有用的，我们可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。工程上，某极点与某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。
内回路当由0时的根轨迹见图4-6所示。当=2.5，时，对应的内回路闭环极点分别为、

内回路闭环零、极点确定后，再画K由的多回路系统根轨迹。
多回路系统的开环传递函数应为

式中
（1） 整个负实轴为根轨迹段
（2） 渐近线
{60°、180°、-60°}

（3） 起始角
－135°－90°
取 ，－45°
，45°
（4） 求与虚轴的交点
p2’
jω

j2.12
×
令代入得
p1’
60o
，
-1
-60o
， ×
多回路系统根轨迹见图4-7所示。
p3’
-j2.12
×
从根轨迹图可看出，当取，
时，此多回路系统将有两个闭
环极点分布在s平面的右半部，系统变 图4-7 多回路系统根轨迹
为不稳定。

二、补根轨迹的绘制
在复杂的控制系统中，有时由于对象本身的特性或为了满足系统性能的要求，可能含有正反馈回路；亦可能在开环传递函数的分子或分母中，出现s的最高次幂系数为负的情况。对于这类根轨迹，虽然和上面的一样，都是研究当可变参数在可能的取值范围内变化时，系统特征方程根变化的轨迹，但由于它们自身的特点，导致和上面讨论的略有不同。为了和上面讨论的根轨迹相区分，通常把这类系统的根轨迹叫做补根轨迹。
对于正反馈系统的特征方程为

式中
它的相角条件和幅值条件为
= （4-16）

上两式是绘制补根轨迹的依据。
由于补根轨迹方程和根轨迹方程在形式上完全相同。因此，它们的根轨迹基本原理、绘制方法和基本规则是完全相同的。比较它们的相角条件和幅值条件可以看出，它们的幅值条件完全相同，所不同的只是相角条件。因此，以上关于绘制根轨迹的规则，除了与相角条件有关的需作修正外，其余的均适用于补根轨迹。现将修正后的绘图规则4、6、8列于表4-3中，以供查用。

表4-3 补根轨迹的部分绘图规则
规则4
实轴上若有根轨迹分布的线段，则其右方开环系统的零点数和极点数的总和为偶数。
规则6
根轨迹有条分支，沿渐近线趋向无穷远处。渐近线为直线。渐近线与实轴交点坐标：

而渐近线与实轴正方向的夹角
。
规则8
从开环极点出发的根轨迹，其出射角为

=开环零点和其它开环极点引向该极点的向量幅角之净值；
根轨迹到达开环零点的入射角为

=其它开环零点和开环极点往该零点所引向量的幅角之净值。

[例 4-5] 已知单位反馈的开环传递函数为

（1） 分别画出及时的根轨迹。
（2） 应用主导极点法求出系统处于临界阻尼时的开环增益，并写出对应的闭环传递函数。
解 （1）绘制系统的根轨迹

式中。
当时，按相角条件绘制根轨迹。
① 根轨迹起始于、、、，终止于和无穷远处。
② 实轴根轨迹区间是、。
③ 根轨迹的渐近线

④ 根轨迹的分离点
由

用试探法求得。显然和在根轨迹上，故分离点为
， 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点
系统的特征方程为

将代入特征方程得

解得方程组得
时，系统的根轨迹如图4-8中实线所示。
当时，按相角条件绘制根轨迹。
① 根轨迹起始于、、、，终止于和无穷远处。
② 实轴上根轨迹区间是。
③ 根轨迹的渐近线

④ 根轨迹的分离点
时，系统的根轨迹如图4-8中的虚线所示。
（2）求临界阻尼的开环增益
由于时（属正反馈），系统均不稳定，因此不存在临界阻尼状态。
时，根据主导极点的概念，当系统的两个闭环主导极点时系统处于临界阻尼状态。
与相应的为

所以系统处于临界阻尼时的开环增益
用长除法可将系统的特征方程化为

所以系统处于临界阻尼时的闭环极点为
，
显然，闭环零点及闭环极点的影响可以忽略。此时系统的闭环传递函数为

jω

j1.3

渐近线

–0.45
–2.25

0
–1
–4
–10
–12.5
× × ×

渐近线

图4-8 例 4-5的根轨迹图

第三节 控制系统根轨迹的性能分析
根轨迹法在系统分析中的应用是多方面的，在参数已知的情况下求系统的特性；分析参数变化对系统特性的影响（即系统特性对参数变化的敏感度和添加零，极点对根轨迹的影响）；对于高阶系统，运用“主导极点”概念，快速估价系统的基本特性等。
系统的暂态特性取决于闭环零、极点的分布，因而和根轨迹的形状密切相关。而根轨迹的形状又取决于开环零、极点的分布。那么开环零极点对根轨迹形状的影响如何，这是单变量系统根轨迹法的一个基本问题。知道了闭环极点以及闭环零点（通常闭环零点是容易确定的），就可以对系统的动态性能进行定性分析和定量计算。
一、 增加开环极点对控制系统的影响
大量实例表明：增加位于s左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低。例如，设系统的开环传递函数为
(4-17)
则可绘制系统的根轨迹，如图4-9(a)所示。若增加一个开环极点，根据这时的开环传递函数
(s)= (4-18)
可绘制系统的根轨迹，如图4-9(b)所示。由图可见：增加开环极点，使根轨迹的复数部分向右半平面弯曲。若取、，则渐近线的倾角由原来的o变为60o；分离点由原来的-0.5向右移至-0.422；与分离点相对应的开环增益，由原来的0.25（即=0.50.5=0.25）减少到0.19（即==0.19）这意味着，对于具有同样的振荡倾向，增加开环极点后使开环增益值下降。一般来说，增加的开环极点越靠近虚轴，其影响越大，使根轨迹向右半平面弯曲就越严重，因而系统稳定性能的降低便越明显。
二、增加开环零点对控制系统的影响
一般来说，开环传递函数增加零点，相当于引入微分作用，使根轨迹向左半s平面移动，将提高系统的稳定性。例如，图4-10(a)表示式（4-17增加一个零点的根轨迹（并设），轨迹向左半s平面移动，且成为一个圆，结果使控制系统的稳定性提高。图4-10(b)是式（4-17）增加一对共轭复数零点的根轨迹。
jω
jω

-1
-2
-1
× × × × ×

(a) (b)
图4-9 增加开环极点对根轨迹的影响

jω jω

0
–1
–2
× × × ×

（a） (b)
图4-10 增加开环零点对根轨迹的影响
三、利用根轨迹确定系统参数
我们首先讨论当闭环特征根已经选定在根轨迹的某特定位置时如何确定应取的参数值。由根轨迹的幅值条件，所有在根轨迹上的点必须满足式(4-4)

因此根据要求的闭环极点s=s0可以由此求得应取的值。
[例4-6] 设开环传递函数为
(4-19)
它的根轨迹如图4-11所示，要求闭环极点位于使系统具有的阻尼比的位置，那么增益应是多大？
解 在图4-11中画出的射线，与根轨迹相交得闭环极点的要求位置。再画出的极点到的三个向量——，，，由幅值条件

得
由向量长度，，，可得

换句话说，如果取的值为65，则的一个根将位于,另一个根当然是和共轭的。第三个根在何处呢？由根轨迹知道，第三条根轨迹在负实轴上，在一般情况下，可以取一试探点，计算相应的值，然后修正试探点直到找出和相应的点为止。

jω
s0
(s0+p2)

–p2
×

(s0+p3)

–p1
×

–p3
×

图4-11 根轨迹增益的确定
具有式(4-19)开环传递函数的系统，因为有一个积分环节，因此是I型系统，在跟踪斜坡输入时的稳态误差取决于速度增益，本例中

当时，。如果上述闭环系统动态响应和稳态精度可以满足要求，则靠以上调整参数的办法就够了。如果单靠调整还不能满足系统的各种品质指标，则需要在原有传递函数的基础上附加新的零、极点，这方面的详细讨论将在第六章中进行。
[例4-7] 已知开环传递函数

试绘制其根轨迹，并确定使闭环系统的一对共轭复数主导极点的阻尼比等于0.5的值。
解：对于上述给定系统，其幅角条件为：

其幅值条件为：

绘制根轨迹的典型步骤如下：
（1） 开环极点为0，-1，-2，见图4-12，它们是根轨迹各分支上的起点。由于开环无有限零点，故根轨迹各分支都将趋向无穷。
（2） 一共有三个分支。且根轨迹是对称实轴的。
（3） 定根轨迹的渐近线。三根分支的渐近线方向，可按式(4-9)来求，即
()
因为当值变化时，相角值是重复出现的，所以渐近线不相同的相角值只有60o，-60o和180o。因此，该系统有三条渐近线，其中相角等于1800的一条是负实轴。
渐近线与实轴的交点按式(4-8)求，即

该渐近线如图4-12中的细虚线所示。
（4） 确定实轴上的根轨迹。在原点与-1点间，以及-2点的左边都有根轨迹。
（5） 确定分离点。在实轴上，原点与-1点间的根轨迹分支是从原点和-1点出发的，最后必然会相遇而离开实轴。分离点可按式(4-15)计算，即

解得
和
因为，所以分离点必然是（由于在-1和-2间实轴上没有根轨迹，故显然不是要求的分离点）。
(6) 确定根轨迹与虚轴的交点。应用劳斯稳定判据，可以确定这些交点。因为所讨论的系统特征方程式为：

所以其劳斯阵列为：
s3 1 2
s2 3
s1
s0
使第一列中s1项等于零，则求得值为。解由s2行得到的辅助方程

可求得根轨迹与虚轴的交点

虚轴上交点的频率为，与交点相应的增益值为。
(7) 在轴与原点附近通过选取实验点，找出足够数量的满足相角条件的点。并根据上面所得结果，画出完整的根轨迹图，如图4-12所示。
(8) 确定一对共轭复数闭环主导极点，使它的阻尼比。的闭环极点位于通过原点，且与负实轴夹角为的直线上，由图4-12可以看出：当时，这一对闭环主导极点为：

与这对极点相对应的值，可根据幅值条件求得
2
所以
利用这一值，可求得第三个极点为s=-2.33。
这里应该注意的是，当时，闭环主导极点位于虚轴上处。在这个值时，系统将呈现等幅振荡。当时，闭环主导极点位于右半s平面，因而将构成不稳定的系统。
最后还指出一点，如有必要，可以应用幅值条件很容易地在根轨迹上标出增益，这时只要在根轨迹上选择一点，并测量出三个复数量s,s+1,和s+2的幅值大小，然后使它们相乘，由其乘积就可以求出该点上的增益值，即

jω

-2
-1
0
× × ×

图4-12 例4-7的根轨迹图
四、用根轨迹分析系统的动态性能
在第三章时域分析法中已知闭环系统极点和零点的分布对系统瞬态响应特性的影响。这里我们将介绍用根轨迹法来分析系统的动态性能。根轨迹法和时域分析法不同之处是它可以看出开环系统的增益变化时，系统的动态性能如何变化。现以图4-12为例，当时，闭环系统有一对极点位于虚轴上，系统处于稳定极限。当时，则有一对极点将进入s平面的右半面，系统是不稳定的。当时，系统的三个极点都位于s平面的左半面，应用闭环主导极点概念可知系统响应是具有衰减振荡特性的。当时，两极点重合在实轴上，当时，系统的三个极点都位于负实轴上，因而可知系统响应是具有非周期特性的。如再小，有一极点将从该点向原点靠拢。如果闭环最小的极点值越大，则系统的反应就越快。
按根轨迹分析系统品质时，常常可以从系统的主导极点的分布情况入手。以图4-12为例，已知，这时一对复数极点为，而另一个极点为。这时，由于该二极点到虚轴之间距离相差倍，则完全可以忽略极点的影响。于是量得复数极点的，，故阻尼比。根据第三章给出的关系式很方便的求出系统在单位阶跃作用下瞬态响应曲线的超调量=40%，调整时间秒。
[例4-8] 已知系统如图4-13所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比时，系统的单位阶跃响应。
K
s(0.25s+1)(0.5s+1)

U(s) Y(s)
–

0.5s+1

图4-13 例4-7系统方块图
解：系统的开环传递函数为

① 根轨迹起始于0，-2，-4，终止于-2和无穷远处。
② 根轨迹的渐近线
，，
③ 根轨迹的分离点 。
系统的根轨迹如图4-14所示。
的等阻尼比线交根轨迹于A点，求得此时闭环共轭复数极点为。相应的，。
系统的闭环传递函数为
jω
-4
0
-2
A
×
×
×

单位阶跃响应的拉氏变换式为 图4-14 例4-8的根轨迹图

相应的单位阶跃响应为

第四节 应用MATLAB绘制根轨迹图

自从MATLAB这样的高性能软件及语言出现以来，特别是MATLAB的控制系统工具箱问世以来，给系统分析者带来了福音，系统分析者可以非常方便地绘制系统的根轨迹图。
使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输出系统的根轨迹。该命令有两种基本形式。
Rlocus（num，den）或rlocus（num，den，k）
其中，单输入单输出SISO系统开环传递函数为G(s)=num(s)/den(s)。
在这些命令中，根轨迹图是自动生成的。如果这第三个参数（矢量k）是指定的，命令将按照给定的参数绘制根轨迹图，否则增益是自动确定的。
下面的命令可求得系统的闭环极点。
clpoles=rlocus（num，den）
（或clpoles=rlocus（num，den，k））
axis命令可以定义绘制图形轴线的区域。定常阻尼系数ζ（从0至1，间隔增量为0.1）与自然频率的根轨迹可以使用sgrid命令绘制在同一根轨迹上。
sgrid或sgrid(zeta，wn)
第二种形式允许指定阻尼系数与自然频率的范围。
下列命令为绘制系统G(s)的根轨迹命令。绘制的区域为靠近虚轴的上半平面，且在平面上同时绘制阻尼比线（ζ从0.5至0.7）与自然频率线（0.5rad/s）:
ng=1，dg=[1 3 2 0]；axis（[-1 1 0 3]）；
rlocus（ng，dg）
sgrid（[0.5：0.1：0.7]，0.5）
在系统分析过程中，常常希望确定根轨迹上某一点的增益值。Rlocfind命令就可以完成