整式及其加减.docx

整式
适用学科
初中数学
适用年级
七年级
适用区域
广东省
课时时长（分钟）
60
知识点
整式、单项式、多项式
教学目标
 1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。 
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。 
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
教学重点
掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
教学难点
单项式概念的建立

教学过程
一、课堂导入
唱儿歌：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水„„ 提问：两只青蛙呢？„„ 
八只青蛙呢？„„ 十六只青蛙呢？„„ 

同学们唱到这里就有一点困难了，但是儿歌还能继续唱下去，想一想你能用一句话把这首儿歌唱完吗？思考一下，然后说出你的想法.
二、复习预习
1、由于学生小学时已经初步涉及用字母表示数（如用字母表示运算律、面积、周长等），通过回顾由此增强学生对“字母表示数”的感性认识：字母不但可以表示数，而且可以简明地表达数学公式，用以揭示数学规律.
加法交换律：a + b =  b + a         乘法交换律：a×b = b×a 

2、 回忆长方形和圆的周长、面积公式
3、 列代数式 
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是（ ）； 
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为（ ）； 
(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是 （ ）； 
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是（ ）； 
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款（ ）元。 
三、知识讲解
考点1
单项式： 
由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。

单项式的系数 
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

单项式的次数 
    一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
考点2
多项式 
1．多项式的定义 
几个单项式的和叫做多项式。
 2．多项式的项 
多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 说明： 
    ⑴多项式的项包括它前面的正负号； 
⑵判断一个式子是不是多项式，关键是看式子能不能写成单项式的和的形式。 
3．多项式的次数 
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 说明： 
⑴多项式的次数取决于多项式中次数最高项的次数； ⑵多项式的次数最高项不一定只有一项，有可能有多项。 
考点3
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，另外，所有的常数项都是同类项。
合并同类项 
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项
合并同类项的法则 
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变. 

四、例题精析
考点一 单项式的系数和次数
例1 判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。 
① ② ③是         ④
【解析】①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x的商； 
③是，它的系数是π，次数是2；         ④是，它的系数是，次数是3。

考点二 多项式的次数和系数
例2 说出下列各多项式分别是几次几项式．
(1)3x－23； (2)a2b＋2a－3b－4； (3)；
(4)(a3－b3＋1)×； (5)x6－x5＋3x2－12x＋a； (6)2(xy＋x3－y＋π4)．

【解析】解：(1)多项式3x－23是一次二项式；
(2)多项式a2b＋2a－3b－4是三次四项式；
(3)因为＝x2－x＋4，所以多项式是二次三项式；
(4)因为(a3－b3＋1)×＝a3－b3＋，所以多项式(a3－b3＋1)×是三次三项式；
(5)多项式x6－x5＋3x2－12x＋a是六次五项式；
(6)因为2(xy＋x3－y＋π4)＝2xy＋x3－2y＋2π4，所以多项式2(xy＋x3－y＋π4)是三次四项式．

考点三 升幂和降幂
例3 是____次____项式。它的项是________________________，把它按的升幂排列是________________________，把它按的降幂排列是________________________。

【解析】五；五；，，，；；。
【总结与反思】多项式是由单项式，，，组成的，它们的次数分别是5，5，5，1，0，故它是五次五项式，同时的次数是4，3，2，1，0，因此升幂排列是，降幂排列是。

考点四 整式的定义
例4 下列代数式：，，，，，，，，中，整式为_________________________________。

【解析】，，，，，，。

五、课堂运用
【基础】
1、用代数式表示：
（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃.
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________.
（3）用字母表示两个连续奇数为___________.
（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________.

【解析】（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；
答案：（1）（100－t）
（2）10b＋a
（3）2n－1，2n＋1（n为整数）

2、一个五次多项式，它的任何一项的次数都
A．小于5　　　　　B．等于5　　　　　　C．不小于5　　　　　D．不大于5

【解析】由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于五次的．因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的．选D.

3、先化简，再求值：
， 其中．

【答 案】 ．
当时，原式．

【巩固】
1、如果式子是关于，的五次二项式，则________。

【解析】由式子是关于，的五次二项式，可知且，从而得到。
【总结与反思】多项式的次数是多项式中最高次项的次数，将最高次项的所有字母的指数相加，得到多项式的次数，同时要确保多项式最高次项的系数不能为0。

2、下列各式：，，，，，，中，单项式有个，多项式有个，整式有个，则_________。

【解析】 10。
【规范解答】单项式有，，所以；多项式有，，，所以；整式有，，，，，所以。因此。

【拔高】
1、已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值

【解析】解：因为是六次四项式，所以，从而。
又因为单项式与的次数相同
所以，，从而。
因此，。

2、观察下列单项式：，，，，……，，，……
（1）你能发现它们的排列规律吗？
（2）根据你发现的规律，写出第99个和第100个单项式。

【解析】 解：（1）规律：系数依次是，，，，……，次数依次为，，，，……，所以可以知道第个单项式可以用式子表示。
（2）由（1）可得，第99个单项式为，第100个单项式为。

课程小结
①理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几.
②这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统. ) 
注意： 
(1) 多项式的次数不是所有项的次数之和； (2)多项式的每一项都包括它前面的符号. 
（3） 圆周率π是常数；
（4） 当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；
（5） 单项式次数只与字母指数有关 
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