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关注“新定义”型试题
黄桂青

近年来在各级竞赛和中考中，涌现了大量的着意考查学生的创新意识、创新精神为目的的新“定义”试题。所谓“新定义”试题指给出一个考生从未接触过的新规定，要求考生现学现用，其目的考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质。“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路。
1. 关注边缘概念的新定义
所谓新定义的边缘概念，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用这种概念去创造性地思考并解决问题。
例1. 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故16是一个“智慧数”。在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是__________。
分析“智慧数”是一种全新的、特殊的概念，解这类题的关键是要准确全面地理解“智慧数”的涵义，通过可逆思维结合的方法解决问题。由于自然数可分为奇数和偶数，所以要分析奇数与偶数中哪些数是“智慧数”。
解：设奇数为（k是自然数），显然成立，当偶数为4k时（k是正整数），也成立，即：每个形如，4k的非零自然数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，所以智慧数有1，3，4；5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…，即2个奇数，1个4的倍数，三个一组依次排列下去。因为1990＝663×3＋1，即第1990个智慧数是664组的第一个，所以它是663×4＋1=2653。

2. 关注对新命题运算的定义
新命题的运算，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算。
例2. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了方便起见，我们可将“1+2+3+4+…+100”表示为，这“”是求和符号。例如“”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为，又如“”可表示为，同学们，通过对以上材料的阅读，请解答以下问题：
（1）用求和符号可表示为_________；
（2）计算__________。
解：（1）由类推，表示奇数，则偶数用2n表示，于是。
（2）由得

例3. 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b都有ab=a和ab=b。例如：32=3，32=2，则
（20062005）（20042003）=_________。
解：由ab=a，ab=b，知
（20062005）（20042003）
=20052003=2005

3. 关注新规则的新定义
所谓新规则的新定义，就是没有固定的原有模式，要求学生以分析的态度、探究的目光，通过赋值数学化等知识实现原理、态度的迁移。
例4. 用min（a，b）表示a，b两数中的较小者，用max（a，b）表示a，b两数中的较大者，例如min（3，5）=3，max（3，5）=5，min（3，3）=3，max（5，5）=5。设a，b，c，d是互不相等的自然数，min（a，b）=p，min（c，d）=q，max（p，q）=x，max（a，b）=m，max（c，d）=n，min（m，n）=y，则（ ）
A. B.
C. D. 和都有可能
解：①当取
则，此时
②当取，得
，此时，
所以x>y和x题，但仅用尺规不可能“三等分角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图1）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数的图象关于点P，以点P为圆心，以2OP为半径作弧交图象于点R。分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到∠MOB，则∠MOB∠AOB。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

图1
（1）设，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）。
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q。说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB。
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。
解：（1）设直线OM的函数关系式为
，R（b，），则，
所以
所以直线OM的函数关系式为
（2）因为Q的坐标（a，）满足，
所以Q在直线OM上。
因为四边形PQRM是矩形
所以
所以∠SQR=∠SRQ
因为PR=2OP
所以
所以∠POS=∠PSO
因为∠PSQ是△SRQ的一个外角。
所以∠PSQ=2∠SQR，∠POS=2∠SQR。
因为QR//OB
所以∠SOB=∠SQR，∠POS=2∠SOB
所以
（3）答案不唯一，以下答题供参考：
①利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分。
②把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形将其三等分。

5. 关注几何图形的新定义
所谓几何图形的新定义，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词。
例6. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”。如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”。显然，当△ABC是钝角三角形，其“友好矩形”只有一个。
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

① ② ③
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明。
分析：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”。
（2）此时共有2个友好矩形，如图2的矩形BCAD、矩形ABEF。

图2
易知，矩形BCAD、矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，所以△ABC的“友好矩形”的面积相等。
（3）此时共有3个友好矩形，如图3的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小。

图3
证明：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S。设矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为，△ABC的边长，则

所以

而
所以
即
同理可得
所以L3最小，即矩形ABHK的周长最小。

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