曲面立体截交线.doc

第一节、 平面与圆柱体相交

平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。平面截切圆柱体截交线的形式有三种。
例：已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。
解：分析——圆柱的轴线是铅垂线，截平面为正垂面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。
作图步骤：
（1）求特殊点  截交线最左素线上的点Ⅰ和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1"、2"、3"、4"。
（2）求一般点  从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a"、b"、c"、d"。
（3）按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。
              已知条件                        求特殊点                            求一般点
例：求开槽圆柱的左视图。
解：分析——圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。
作图——在水平投影上和正面投影上找出特殊点1、2、3、4、5、6和1'、2'、3'、4'、5'、6'根据点的投影规律作出1"、2"、3"、4"、5"、6"，按顺序依次连接各点。
判别可见性：截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。
                      已知条件                             作图过程
例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
解：分析——圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成。
侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。
正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。
    水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均为直线。
作图步骤:
（1）求特殊点  侧平面与圆柱截交线圆弧的最高点Ⅰ和前后两端点Ⅱ、Ⅲ的侧面投影1"、2"、3"和正面投影1'、2'、3'可直接求出，并根据两面投影求出水平投影1、2、3。Ⅱ、Ⅲ点也是部分椭圆的两个端点，另外两个端点Ⅳ、Ⅴ正面投影4'、5'和侧面投影4"、5"可直接求出，并根据两面投影求出4、5。水平面与圆柱的截交线是矩形，点Ⅳ、Ⅴ是矩形截交线的两个端点，另两个端点Ⅵ、Ⅶ的正面和侧面投影可直接求出，，并根据两面投影求出水平投影。点Ⅷ、Ⅸ是部分椭圆短轴的端点，也是截交线的最前点和最后点。其正面投影8'、9'和侧面投影8"、9"可直接求出，根据两面投影求出水平投影8、9。
（2）求一般点  圆弧和矩形的截交线不需要一般点。在截交线的椭圆部分选A、B、C、D四点，可直接求出其投影a'、b'、c'、d'和a"、b"、 c"、d"，并根据两面投影求出a、b、c、d。
（3）光滑连接各点的水平面投影，并补全轮廓线。

第二节 平面与圆锥体、球体相交

由于截平面与圆锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线有五种不同的情况。

因为圆锥面的各个投影均无积聚性，所以求圆锥的截交线时，可采用辅助平面法。作一辅助平面，利用三面（截平面、圆锥面、辅助平面）共点原理，求截交线上的点，下面举例介绍截切圆锥的作图步骤。
例：已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。
解：分析——圆锥体的轴线为铅垂线，因截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，所以截交线为椭圆。由于截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。选用辅助水平面作出截交线的水平和侧面投影。
作图步骤：
（1）求特殊点  截交线的最低点A和最高点B，是椭圆长轴的端点，它们的正面投影a'、b'直接求出，水平投影a、b和侧面投影a"、b"按点从属于线的关系求出。截交线的最前点K和最后点L，是椭圆短轴的端点，它们的正面投影为a'b'的中点，作辅助水平面求出k、l和k"、l"。圆锥体前后素线与正面投影的交点c'、d'可直接求出，水平投影c、d和侧面投影c"、d"可按点从属于线的原理求出。
（2）求一般点  选择适当的位置作辅助水平面，与截交线正面投影的交点为1'、2'，其水平投影和侧面投影即可求出。
（3）光滑连接各点同面投影，求出截断体的水平投影和侧面投影，并补全轮廓线。
                 已知条件                                    求特殊点
                   求一般点                                 光滑连接各点
例：已知截切圆锥体的主视图，求其余两视图。
解：分析——截平面为不过锥顶而平行于圆锥轴线的侧平面，截交线为双曲线，其正面和水平投影积聚为直线，侧面投影为双曲线。
作图步骤：
（1）求特殊点  圆锥面主视方向轮廓线上的点A及双曲线与直线的交点B、E为特殊位置的点，由它们的正面投影a'、b'、e'可直接求出水平投影a、b、e和侧面投影a"、b"、e"。
（2）求一般点  在主视图中取适当数量的中间点（如C、D点），过c'、d'作辅助水平面，可求得c、d和c"、d"。

（3）光滑连接各点的同面投影，求出截交线的水平和侧面投影。
已知条件                               求特殊点

求一般点                              光滑连接各点
四、平面与球体相交
平面与圆球相交，不论截平面处于什么位置，其截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，在另两个投影面上的投影积聚为直线。当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，另外两个投影为椭圆。
例：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。
解：分析——截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。
作图步骤：
（1）求特殊点  截交线的最低点A和最高点B是最左点和最右点，也是截交线水平投影椭圆短轴的端点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。a'b'的中点c'd'是截交线的水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影c、d投影在辅助水平圆上。e'f '是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。
（2）求一般点  选择适当位置作辅助水平面，与a'b'的交点g'、h'为截交线上两个点的正面投影，其水平投影g、h投影在辅助圆上。
（3）光滑连接各点的同面投影,得截交线的水平投影，补全外形轮廓线。
例：已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
解：分析——半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球，两个侧平面左右对称，与球面的截交线为一段圆弧，侧面投影反映实形，与水平截平面的交线为正垂线。水平截平面与球面的截交线是两段圆弧，水平投影反映实形。作图的关键是确定截交线圆弧的半径，可根据截平面位置确定。
作图步骤：
（1）通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。
（2）通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。
（3）左视图上c"b"线不可见，球的轮廓大圆只画到d"e"处。