数学七年级上《实数》复习教学案.doc

数学七年级上总复习
之实数
一、知识结构

知识结构中，平方根与立方根两部分内容是平行的，可对比着进行记忆．
二、知识要点
要点1  平方根、立方根的定义与性质
1、要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。2、因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。
要点2  实数的分类与性质
 要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
要点3  二次根式的性质及有关概念
 二次根式要紧扣两个要素，即：根指数为2；被开方数大于或等于0。
要点4  实数的混合运算
在实数范围内进行加、减、乘、除乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
要点5  非负数 
非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。
要点6  数形结合题
数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
要点7  与二次根式有关的探究题
这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
三、考查要点
1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题
（1）如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．
2、考查实数的有关概念及实数大小的比较
（2）比较大小：7    与根号50  ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 
分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比较历来是中考考查的基本内容。实数进行大小比较的基本原则是：数轴上右边的数总是大于左边的数。
3、考查二次根式的概念
（3）根号x-1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
   (A)x>1    (B)x≥l    (C)x<1    (D)x≤1
  分析：形如根号a的式子叫做二次根式，其中a≥0是满足二次根式的基本条件
4、考查同类二次根式
分析：掌握同类二次根式的概念是解决此类问题的关键。首先要把能化简的二次根式化成最简二次根式，再分别看被开方数与 、 的被开方数是否相同即可。
5、考查二次根式的化简与运算
（4）化简根号40的结果是（    ）
A．10          B．2       C．4         D．20
分析：化简二次根式要把能开得尽方的因式都开出来，使结果成最简形式；二次根式的运算按二次根式的加、减、乘、除的法则进行即可。
四、考试易错点
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上正负号，成了平方根等等。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方， 成立的条件是a≥0，这一条件解题时往往被我们忽略。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
4、二次根式的运算错误
在进行二次根式的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。 
五、平方根和立方根考点例析
在中考试题中，平方根和立方根的考点有以下几个方面：
一、 平方根的概念
如果一个数的平方等于A那么这个数叫做A的平方根．
例1.9的平方根是【 】
       (A) 3  (B)     (C) 81  (D)
分析:根据平方根是定义可知9的平方根是,所以选(D).
例2.(-5)2的平方根是【 】
(A)5 (B)-5 (C)±5 (D)±
分析:因为(-5) 2=25,所以本题可理解为求25的平方根,一个正数的平方根有两个,且(±5)2=25,所以(-5)2的平方根为±5,故选(C).
例3.的平方根是【 】
(A) ±9 (B) ±3(C)9 (D)3
分析:因为=9,所以本题实际是求9的平方根,因为9的平方根是±3,所以 平方根是±3.故选(B).
二、 算术平方根
正数A的正的平方根叫做A的算术平方根.
例4.| -4|的算术平方根是【】
(A)2　　(B)±2　　(C)4　　(D) ±4
分析:因为|-4|=4,所以本题是求4的算术平方根,因为22=4,所以4的算术平方根是2,故选(A).
例5.设为正整数，若是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】
(A) (B) (C) (D)
分析:本题实际是求一个数的算术平方根.因为x+1是完全平方数,所以它的算术平方根是,它前面的一个数,其平方是.所以选(D).
三、 立方根
如果一个数的立方等于A，那么这个数叫做A的立方根．
例6.立方根等于3的数是【】
（A）9　　　（B）　　（C）27　　（D）
分析：一个正数的立方根只有一个，是正数，所以（B），（D）一定不对．本题实际是求3的立方是多少的，因为32=9，33=27，所以选（C）．
例7.等于 【 】
（A） （B） （C）3 （D）-3
分析：本题是求-8的立方根，一个负数的立方根是一个负数，所以（A），（C）一定不对，因为（-2）3=8，所以正确答案为（B）．
例8.的值为【 】
（A）3.049 (B)3.050 (C)3.051 (D)3.052
分析：本题可用计算器计算得结果为3.049547…，但要注意四舍五入为3.050,所以选(B).
四、科学计算器的应用
例9.用计算器计算的按键顺序是______,结果等于_____.
分析:用计算器计算的按键顺序是:
=

.·
2
6
1
1
0

结果为0.46.
六、复习时需要强调和注意的问题
1．平方根与算术平方根的联系和区别：
(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根．0的平方根，算术平方根都为0．
(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a表示一个正数，其平方根为，其算术平方根为（为正数）
（3）当时，；时，无意义
2．平方根与立方根的性质：
3、无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如π就是一个特例．
4、在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的．
5、实数的分类
例1判断题：
1、 的平方根是
2、 是的平方根
3、 是的平方根
4、 的平方根是
5、 的平方根是
6、有算术平方根的数是正数． (×)
这六道判断题，主要是考查了学生对平方根和算术平方根这两个概念的掌握．

七、例题解析
[例1]判断题：
(1)绝对值等于它本身的实数只有零． ( )
(2)倒数等于它本身的实数只有1． ( )
(3)相反数等于它本身的实数只有0． ( )
(4)算术平方根等于它本身的实数只有1． ( )
(5)有算术平方根的数是有理数． ( )
(6)0是最小的实数． ( )
(7)无限小数都是无理数． ( )
(8)带根号的数都是无理数． ( )
(9)不带根号的数都是有理数．( )
(10)两个无理数的和为无理数． ( )
解析：在作(1)-(4)小题时，应提醒学生要特别关注±1、0、正数、负数等内容，这种题应反复推敲，不丢掉任何一种情况．(5)-(10)小题，主要考查了学生有关无理数、有理数以及实数的概念．无论题目如何变化，要紧紧地扣住这几个基本概念来思考问题，才能做出正确的判断．
[例2]比较下列各组数的大小：
(1)0.14583…和0.14579…；(2)π和3.1415；
解析：(1)0.14583…＞0.14579…．(2)π≈3.1415926,∴π＞3.1415．
实数的比较，需要遵循的原则是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值。
[例3]计算：（1）π（精确到0.01）2)
解析：关于求无理数的近似计算问题，是实数运算中的基本题，完成这类题一是明确题目所要求的精确度，二是根据精确度的要求准确地将无理数取得近似值，原则上是过程中的近似值要比结果要求的精度多一位小数．
解析:
(1)π (2)
≈2.646+2.36-3.141 ≈(-5)×1.732-2×2.236
=1.865 =-8.660-4.472
≈1.87． =-13.132
≈-13.1．
例4解下列方程：
(1)25x2-169=0；(3)-25(2x+1)2=(-4)3；
(4)8x3+27=0；(5)(x-2)3=-1；(6)(10-0.1x)3=-27000．
提示：此题所给出的都是简单的二次方程和三次方程．解这类方程主要是依据平方根和立方根的定义去解，因此总要化成某数或某式的平方或立方等于某数的形式再解方程.(2)（3）（5）（6）题中要注意整体思想，分别把谁看成整体，如何解决？具体过程自己完成.
在解这类简单的二次和三次方程时，要注意看清次数，尤其应注意二次方程，由于平方根的定义，这样方程会有正、负两个根，解题时应多加注意．