最大视角问题探秘.doc

2011年乌鲁木齐市中学数学论文评选参评论文
最大视角问题探秘

一、历史背景与高考、竞赛
最大视角问题，也称米勒问题。一种说法为1471年德国数学家米勒（Johannes Miiller）提出的“塑像问题”【1】：假定有一个塑像，高米，立在一个高米的底座上，一个人盯着这尊塑像朝它走去，这个人的水平视线离地面米，问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大？另一种说法则为1471年米勒向诺德尔（Christian Roder）教授提出的有趣问题【2】：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法解决的。
最大视角问题应用比较广泛。例如，在南非足球世界杯某场比赛中，一名队员沿边路带球突破时，距底线多远处射球，所对球门的张角最大？这里假设足球场宽为90米，球门宽为7.32米【3】。过去，最大视角问题常常出现在趣味数学或数学应用的册子中；由于最大视角问题既是应用问题又有一定的趣味，符合课标要求，加上近些年高考中频频出现，人教版课标教科书《数学》⑤也将其纳入进来，见“3.4基本不等式”的B组习题，苏教版课标教科书必修5中也涉及此内容（第11页的第3题）【4】。
最大视角问题由于难度不大，是高考和各类竞赛的热点问题，最早出现在1984年西安市中学生数学竞赛和1986年的全国高考试卷中，后在2005年的天津高考试卷、浙江高考试卷、2010年的江苏高考试卷中相继出现，2001年希望杯竞赛·高二、2004年和2006年的全国高中数学联赛也出现过此类问题，可见高考或竞赛命题者对此问题是“百出不厌”、“情有独钟”。
二、解决最大视角问题的四种方法

以1986年的全国高考试卷中问题作为引例：如图，平面直角坐标系中，在轴正半轴上有两点，，并且，试在轴正半轴上求一点，使得最大。
解法一：设点的坐标为，，
，，于是有：

，当且仅当时，取“”号，即
当时，这时点距原点为，可使得
最大。
解法二：过点、点作圆与轴正半轴相切于点，如
右图，此圆与交于点，连结，由圆的性质知：，再由圆幂定理知，，设，即得，故当时，可使得最大。
解法三：，，设，则
，当且仅当
时，取“”号，即得：。
解法四：，，，设，由余弦定理得：
当且仅当时，取“”号，即得：。
三、探源四种解法的一致性和几何均值的几何意义的关联
解法四使用余弦定理，但解法三实则是解法四的向量表现形式，而三角形边向量关系本身就蕴含着余弦定理。解法三采用向量方法，其实与解法一是高度一致的，由可以得到：，又因，且，则。我们再回到解法一中看一下是否与解法二也相一致呢？因，分子为定值，而分母，当且仅当时，取“”号，即有：，这与解法二中由圆幂定理得到的是多么的一致，解法二运用了纯几何方法，即运用了圆的性质“同弦所对的同侧圆周角皆相等” 、 “同弦所对同侧的圆周角大于圆外角”以及圆幂定理。笔者认为其两法同归殊途于，结果都必定为。
我们再探究一下几何均值的几何意义与圆幂定理的等式的关系。（这里我们不妨将中的换成以区别圆幂定理的等式中的。）

如下图，在圆中，是直径，点是其圆周上一点，连结、，则三角形是直角三角形，过点作，垂足为，即为斜边上的高，有关系，这就是几何均值（即）的一种几何诠释。
注意到在中有：，可得：
。
又在圆的直径上取一点，使，
在过点、、作圆，由，，
可以知道：，得：，
且，则
，且是圆的切线，这即圆幂定理方法。
反过来，在圆中，在的延长线上取
（即取点关于点的对称点），连结，且有与得：，有，，且，结合三式得：，则三角形是直角三角形，就是其外接圆的直径，且，即回到了几何均值（即）的几何诠释。
至此几何均值的几何意义与圆幂定理的关联就有机地建立了起来，看一看是不是很奇妙啊！
四、最大视角问题的拓展

我们将1986年的全国高考试卷中问题再进行改编拓展，即在平面
直角坐标系中，轴上有两定点、关于原点对称，并设线段
的长度为（），试问在轴右侧取那些点，可使得
最大（如右图）。
解析：我们将轴右侧区域分成三部分（如右图）：带形区域、
射线以下区域、射线以上区域。
⑴在射线以上区域中任取一点，过点作轴的垂线，垂足为。连结、，过点、点作圆与直线相切于点，仿引例解法二知当满足时，可使得最大，即有（，），变形得（，），故这些使得最大的点在曲线（，）上。

⑵由对称性知在射线以下区域中使得最大的点在曲线（，）上。
⑶在带形区域中任取一点，过点作轴的垂线，垂足
为。连结、、、，过点、点作圆与直线相切于
点，由于同弦所对同侧的圆周角大于圆外角，知，设
点的坐标为，这时有，且，故这些使得最大
的点在曲线（）上。
综上所知：满足条件的点要么在等轴双曲线（部分）（）上；要么在射线（）上。
这个模型可应用于球员在足球场上哪一点射球，进球几率大。【3】（即，使球员面对球门的张角最大。）

参考文献：
【1】张远南著，《函数和极限的故事》，中国少年儿童出版社，2005年7月第1版
【2】（德）H.德里著，《100个著名初等数学问题——历史和解》，上海科学技术出版社，1982年8月第1版
【3】邹瑾、杨国安主编，《开心数学》，哈尔滨工业大学出版社，2003年7月第1版
【4】展国培《一杯陈年佳酿，让人回味悠长》 中学数学（湖北），2010年第8期（高中版）
4