归纳推理与类比推理练习十四中.doc

合情推理
合情推理的推理过程为：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(简称类比)．
由此可知：归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，由这两种推理方式即合情推理得到的结论未必正确，因此只能作为猜想，其正确与否需要通过演绎推理加以证明．
归纳推理：
1、在数列中，，试猜想这个数列的通项公式。

2、已知数列的前n项和为，且，计算，并猜想的表达式。
3、已知无穷数列1，4，7，10，……，则4891是它的第 项。1631
4、下列四个图形中（如图2―1―1），着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（　　）A

A.an=3n－1 B.an=3n C.an=3n－2n D.an=3n-1+2n－3
5、观察下列各等式：,,，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（　　）A
A. B.
C. D.
6、已知若，（a、b均为实数），请推测a=________，b=_______.6，35
7、观察下列等式

……

可以推测，当k≥2(k∈N*)时，
，ak－1＝__________，ak－2＝_____________
8、已知整数对排列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…则第60个整数对是________．
把a，b，c，d排成形如的式子，称为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算该，运算的几何意义为：平面上的点(x，y)在矩阵的作用下变换成点(ax＋by，cx＋dy)．
(Ⅰ)求点(2，3)在的作用下形成的点的坐标．
(Ⅱ)若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵的作用下变成曲线x2－2y2＝1，求a＋b的值．
解：(Ⅰ)，
所以点(2，3)在的作用下变成点(3，2)．
(Ⅱ)在曲线x2＋4xy＋2y2＝1上任取一点(m，n)，
则，将(m＋an，bm＋n)代入x2－2y2＝1
得(m＋an)2－2(bm＋n)2＝1，即(1－2b2)m2＋2(a－2b)mn＋(a2－2)n2＝1
又点(m，n)在曲线x2＋4xy＋2y2＝1上，所以m2＋4mn＋2n2＝1
由待定系数法可知：
解得 所以a＋b＝2。
类比推理：
1、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）C
① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ③
2、类比三角形中的性质：
（1）两边之和大于第三边
（2）中位线长等于底边的一半
（3）三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的
（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有（ C
A. （1） B. （1）（2）
C. （1）（2）（3） D. 都不对
3、△DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
分析：根据类比猜想得出

其中为侧面为与所成的二面角的平面角
4、在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式
成立。
5、在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径为.将此结论类比到空间，得到相类似的结论为__在三棱锥A－BCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥外接球半径为
6、如图2－1－2（1），若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2（如图2－1－2（2）），则类似的结论为______.

7、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：c2=a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成截面.这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.
8、若三角形的内切圆半径是r，三边长分别是a，b，c，则三角形的面积是r(a＋b＋c)．类比此结论，若四面体的内切球半径是R，4个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________．
9、半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：_____________上式用语言可以叙述为________________________．；球的体积函数的导数等于球的表面积函数
10、已知{an}为等比数列，a5＝2，那么有等式a1·a2·…·a9＝29成立．类比上述性质，相应的：若{bn}为等差数列，b5＝2，则有( )C
(A)b1＋b2＋…＋b9＝29 (B)b1·b2·…·b9＝29
(C)b1＋b2＋…＋b9＝2×9 (D)b1·b2·…·b9＝2×9
11、在公差为d的等差数列{an}中，我们可以得到an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．通过类比推理，在公比为q的等比数列{bn}中，我们可得( )C
(A)bn＝bm＋qn－m (B)bn＝bm＋qm－n (C)bn＝bm·qm－n (D)bn＝bm·qn－m
12、已知扇形的弧长为l，半径为r．类比三角形的面积公式：S＝底×高，可推知扇形的面积公式S扇形等于(　　)C
(A) (B) (C) (D)lr
13、已知平面(2维)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1 y2；空间(3维)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．由此推广到n维向量：a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，那么a·b＝______．
14、在平面几何中，我们有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，我们可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点______．到四个面的距离之和为定值
15、在△ABC中，D为BC的中点，则有，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论为：______．在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则有．
16、如图1所示，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，则AB2＝BD·BC．类似有命题：在三棱锥A－BCD中，如图2所示，AD⊥面ABC．若A在△BCD内的射影为O，E在BC上，且E，O，D在同一条直线上，则＝S△BCO·S△BCD，此命题是( )A

图1 图2
A．真命题
B．增加AB⊥AC的条件才是真命题
C．假命题
D．增加三棱锥A－BCD是正棱锥的条件才是真命题
A [解析]易证DO⊥BC，所以，在Rt△EAD中，EA⊥AD，AO⊥ED，所以AE2＝OE·DE，
所以(BC·AE)2＝(BC·OE)(BC·DE)，即．

10．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有( )个顶点。
A．(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. D. n

4.设，，n∈N，则
A. B.－ C. D.－
12.已知 ，猜想的表达式为
A. B. C. D.
1、数列2，5，11，20，，47…中的等于（ ）
A 28 B 32 C 33 D 27
20．对于数列{an}，定义{△an }为数列{an}的一阶差分数列，其中
（1）若数列{an}的通项公式的通项公式；
（2）若数列{an}的首项是1，且满足，①证明数列为等差为数列；②求{an}的前n项和Sn
20．（1）依题意，
∴
（2）①由
∴，即
，∴是以为首项，为公差的等差数列 （8分）
②由①得 （10分）
∴ ①
∴ ②
①－②得
∴ （14分）