代数式的变形(整式与分式).doc

[文件] sxjsck0009 .doc
[科目] 数学
[关键词] 初一/代数式/整式/分式
[标题] 代数式的变形（整式与分式）
[内容]
代数式的变形（整式与分式）
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.
1． 配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求的值.
解 将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0
∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0
∴x=y=z,∴原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
解 ∵a为x2-3x+1=0的根,
∴ a2-3a+1=0,,且=1.
原式
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0
∴p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较A、B的大小.
解 设 则
.
∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,
可知 ∴A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解 令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即
∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
∵a2+b2+c2=1,
∴k=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),
∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,
∴k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0.
若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,
∴(a+b+c)2=1,
∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1
5.“拆”、“并”和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,
证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而
显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：

①

②
证明 令
通分，
比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.
∴
令k=1,2,…,n得

(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例10(1986年冬令营赛前训练题)
已知
求证:.
证明

6.其他变形
例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.
解 x2=x(x+1)-x

或 x2=x(x-1)+x

例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757
练 习 七
1选择题
（1）（第34届美国数学竞赛题）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（3） 已知则的值是（ ）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）.
（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%
2填空题
（1）（x-3）5ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若=_____.
(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______
3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.
4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.
5.若，求的值.
6.已知为互不相等的三个数,求证

7已知a2+c2=2b2,求证
8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.

练习七
1.C.C.E
2.(1)-32,210 (2) (3)2
3.略.
4.
5. 6.略, 7.略.
8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,
∴f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2
=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x
=[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为
pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,
即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).
均可得出ac=bd.

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