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普通高中课程标准实验教科书
数学
选修1—2

第二章 推理与证明

2.2直接证明与间接证明（第二课时）

2．2．2反证法

05甲 李娜 数学科学学院

一、 教材分析
本课是人教A版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。
证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。
(一) 重点
1. 反证法的理解和定义
2. 反证法的基本步骤——反设、归谬、结论
3. 应用反证法进行简单的证明
(二) 难点
反证法的理解
(三) 关键
通过生活和数学中的例子体会反证法的思维过程，培养应用反证法的感觉
二、 教学目的
《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就要求教师必须重视数学知识产生和发展的过程，注意发展学生的探究精神和创新精神。
本课将通过实际生活中的例子引入、解析反证法，并在解决数学和实际生活中的问题的过程中体会反证法的思维过程，使学生自然地接受新课。
(一) 知识教学点
1. 理解反证法的思维过程
2. 理解反证法的定义
3. 掌握反证法的基本步骤
(二) 能力训练点
1. 掌握反证法的基本步骤，并能够应用反证法进行一些简单的证明
2. 通过反证法的教学，培养学生逆向思维的能力
3. 通过半开放性问题的设置，培养学生搜集、整理资料以解决实际问题的能力
(三) 德育渗透点
在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
三、 教学方法
讲授法
四、 教学条件支持
为了有效地实现教学目的、提高课堂教学效率，并考虑到学生的理解能力，借助计算机辅助教学，直观解析例题，给学生以直观、深刻的印象。
五、 教学过程设计
(一) 导入新课
引导语：
如何证明“世界上至少有两个人的头发根数相等”？
师生活动：
上一节已经学习了直接证明的两种方法，但是这个问题无法从正面直接证明，从而引出本课内容——一种间接证明的方法——反证法
设计意图：通过设置一个学生感兴趣的问题，寻找新知识的“生长点”，引导学生更容易地进入新课。
(二) 讲授新课
1. 反证法的思维过程
引导语：
分析以下事件的真实性——
一位心脏病患者，做梦梦到自己中了500万大奖，结果由于兴奋过度心脏病突发死在了床上。
师生活动：
学生可以很容易地分辨这个事件是假的，但是说不清具体的推理过程。
教师点拨：
①假设这个事件是真的；
②根据事件的叙述：中奖是梦境，所以只有做梦的人知道梦的内容（中奖）；梦的内容被流传，肯定是做梦的人说出去的；做梦的人死在了梦里；所以是死人说出去的。这个结论与常理不符。
③假设是错误的，这个事件是假的。
以上的思维过程就是反证法的内容。
设计意图：
通过对生活中显而易见的例子的解析，为新知识设置一个“载体”，引导学生更容易地理解新知识。
2. 反证法的定义
引导语：
现在趁热打铁，通过上面的实例，总结反证法的过程。
师生活动：
引导学生通过① ② ③的分析，总结反证法的定义：
①假设原命题不成立；
②从假设出发，经过正确的推理，得出矛盾；
③由矛盾说明假设错误，原命题成立。
注：简单地说，反证法就是①通过否定原命题②导出矛盾③从而肯定原命题的方法。
设计意图：
通过分析实例，学生更容易理解反证法的定义，并且也训练了学生从具体到一般的思维过程。
3. 反证法的基本步骤
引导语：
通过对反证法思维过程及定义的解析，很容易总结出反证法的基本步骤。
师生活动：
通过反证法的定义讲授：
①假设原命题不成立——反设；
②从假设出发，经过正确的推理，得出矛盾——归谬；
③由矛盾说明假设错误，原命题成立——结论。
设计意图：
通过对实际问题的解析，体会了应用反证法进行证明的基本过程，水到渠成，因此此处已无需多讲，可以直接总结出反证法的基本步骤了。
(三) 应用举例
引导语：
应用反证法进行证明都是严格地按照反设、归谬、结论这三步进行的。
师生活动：
例1， 已知，证明的方程有且只有一个根。
分析：
“有且仅有”的含义是“存在且唯一”：“存在性”显然，而“唯一性”则很难直接证明正难则反，故采用反证法。
证明：
存在性：由于，因此方程至少有一个根
唯一性：

解法一
①反设
假设方程不只一个根，则不妨设是它的两个不同的根，即

②归谬
两式相减，得

因为，所以，所以应有，这与已知条件矛盾。
③结论
假设错误，原命题成立。即，当时，方程有且只有一个根。
解法一设计意图：解法一中的矛盾是“与已知条件矛盾”

解法二
①反设
假设方程不只一个根，则不妨设是它的两个不同的根，即

②归谬
观察两式，得

因为，所以，这与假设矛盾。
③结论
假设错误，原命题成立。即，当时，方程有且只有一个根。
解法二设计意图：解法二中的矛盾是“与假设矛盾”

例1设计意图：
1) 常见的矛盾大概有以下五种：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾；
③与定义、定理、公理矛盾；
④与客观事实矛盾；
⑤证明过程自相矛盾
2) 证明“唯一性”是数学学习中的一个难点，学生不知道从何处下手，教学中向学生指出，解决“唯一性”问题，往往采用反证法。除此之外，遇到以下情况也常常应用反证法：
①命题结论是用否定形式出现的；
②命题结论是用“至多”、“至少”及类似的词语构造的；
③命题结论的反面比原结论更具体、更容易的；
④命题是用唯一性（如本例）、存在性表述的；
⑤命题表述简单，没有更多公理、定理、法则可供论证的

例2， 证明“世界上至少有两个人的头发根数相等”。（方案1、教师提供材料供学生选择；方案2、让学生分小组探究，自主搜集资料）
资料一、如今世界人口已超过60亿
资料二、各国人口头发密度(每平方厘米的头发根数)的相关信息：
欧洲人根/平方厘米；
中国人根/平方厘米；
日本人根/平方厘米；
非洲人根/平方厘米。
分析：
“世界上至少有两个人的头发根数相等”的反面是“世界上任何两个人的头发根数都不相等”。
证明：
①反设
假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的人编为0号，一根头发的人编为1号，两根头发的人编为2号，“三毛”编为3号……

根据资料一，一定有人的编号大于60亿，假定中国的李四就是其中的一个人，于是李四的头发有根。
②归谬
设李四的头发密度为，头皮面积为，
根据资料二，根/平方厘米，
则
即，李四的头皮面积大于2000平方米，这显然与客观事实矛盾！
③结论
假设错误，原命题成立。即，世界上至少有两个人的头发根数相等。
设计意图：
1) 本例中的矛盾是“与客观事实矛盾”；
2) 对于课前无法解决的问题，现在可以通过本节课所学的知识予以解决，提高了学生学习的积极性，增强了学生的自我效能感；
3) 本例印证了“命题结论是用“至多”、“至少”及类似的词语构造的“常常应用反证法证明。
例3， 古希腊哲学家亚里士多德有一个著名的论点：轻重不同的物体从同一高度自由下落时，一定是重的先着地。在意大利物理学家伽利略提出反对的论点以前的一千多年里，人们对亚里士多德的说法都深信不疑。伽利略认为，如果忽略空气阻力不计，应该是同时着地。为此他在意大利的比萨斜塔上，让重1磅和重100磅的两个铁球同时从同一高度自由下落，果然是同时着地。这是科学史上一个非常著名的实验，它否定了亚里士多德的错误论点。请问：是否可以用数学上的反证法来否定亚里士多德的论点呢？
分析：设想有三个物体自同一高度同时自由下落（忽略空气阻力不计），一个是重1磅的铁块，一个是重100磅的铁块，第三个是与上面所说的那两个铁块重量相同的铁块用铁丝焊在一起（形如哑铃）的组合体。
证明：
①反设
假设亚里士多德的论点是正确的，即，轻重不同的物体从同一高度自由下落时，一定是重的先着地。
②归谬
如果上述三组铁块同时从同一高度自由下落，那么重1磅的落得慢，重100磅的落得快，那个用铁丝焊在一起的哑铃似的铁块要比重100磅的那个慢些，比重1磅的那个快些。（因为重100磅的那头落得快，重1磅的那头落得慢，这就像快马拉着小羊跑一样，快马被牵扯住了）。因此，上述三组铁块同时从同一高度自由下落，重100磅的先着地，重101磅的第二着地,重1磅的最后着地。
但是，同样是根据亚里士多德的同一理论，1磅、100磅、101磅的三组铁块同时从同一高度自由下落，根据重的先着地的原则应该是101磅的那块先着地，这与前面所说的重100磅的先着地矛盾。
③结论
假设错误，原命题成立。即，亚里士多德的论点是错误的。
设计意图：
1) 本例中的矛盾是“证明过程自相矛盾”；
2) 此例中反证法的证明简洁、有力，充分体现了数学中的美！
(四) 总结新课
说明
推理

假设“原命题不成立”

假设错误（原命题成立）

得出矛盾

反设

结论

归谬
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾；
③与定义、定理、公理矛盾；
④与客观事实矛盾；
⑤证明过程自相矛盾。

(五) 课外探究
1. 以同桌为单位，从一下两道题目中任选一道试着进行论证。
1) 证明是无理数
2) 证明质数（也称素数）有无穷多个
2. 三个古希腊哲学家，由于争论激烈和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。三个人醒来以后，彼此看了看，都大笑了起来，因为他们都以为其他两个人在互相取笑。突然，一个人不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了。那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？
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