二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

第十四课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
【知识与技能】会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
【重点难点】
教学重点：二元一次不等式(组)表示的平面区域．
教学难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．
【教学过程】
一、问题与探究
1．给出不等式(1)2x＋3y－4>0，(2)x－4y＋1≤0，观察它们有什么共同特点？
提示：都含有 个未知数，未知数的次数都是 ．
归纳：(1)含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．

(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个 ，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 ．
2．如图作直线x＋y－1＝0，此直线将坐标平面分成几部分？
提示：三个部分．即直线的两侧与直线上．

3．在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程x＋y－1＝0有怎样的关系？
提示：P点的坐标满足方程．
4．在直线上方取点(0,2)，(1,3)，(0,5)，(2,2)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？在直线的下方取点呢？
提示：直线上方的点的坐标都满足x＋y－1>0，直线下方的点的坐标都满足x＋y－1<0．
归纳：(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成的三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足 ．
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ．
(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成 ，表示平面区域包括这一边界直线；画成 表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都 ．
②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域.
(4)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的 ．
二、合作与探究
类型1 二元一次不等式表示的平面区域
【例1】画出下列不等式表示的平面区域：
(1)2x＋y－10<0； (2)y≤－2x＋3．

小结：1．画平面区域时，要分清实线和虚线，≥”“≤”应画成实线如(2)，“>，<”应画成虚线，如(1)．2．二元一次不等式表示的平面区域的画法是以线定界，以点定域(以Ax＋By＋C>0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．
【练习】画出下列不等式表示的平面区域：
(1)2x－3y＋6≥0； (2)x≥1； (3)2y＋3<0．

类型2 二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】已知不等式组(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式所表示的平面区域的面积；(3)求不等式所表示的平面区域内的整点坐标．

小结：1．在画二元一次不等式组所表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线(注意实、虚)；②定侧；③求“交”；④表示．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．
(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．
(2)整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．
【练习】画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积．

类型3 用二元一次不等式组表示实际问题
【例3】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表所示，设厂里有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.
品种
电力/kw·h
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2

小结：用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要设出有关量，再根据有关量的限制条件和实际意义写出不等式，组成不等式组，最后画出平面区域．注意：在实际问题中写不等式组时，必须把所有的限制条件都表示出来，而不能遗漏任何一个．
【练习】甲、乙、丙三种食物的维生素A、维生素D的含量如下表：

甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D.请在平面直角坐标系画出甲、乙两种食物的用量范围．

三、课时小结
1．一般地二元一次不等式Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．
2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可．总之，尽量减少运算量．
3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
四、课时作业
1．(2013·岳阳高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(　　)
A．x＋y－1<0　　　　　　　 B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0 D．x－y－1>0
2．(2013·新余高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合(用阴影部分来表示)的是(　　)

3．(2013·福建师大附中高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t)在直线x－2y＋4＝0的右下方区域包括边界，则t的取值范围是(　　)
A．t<3 B．t>3 C．t≥3 D．t≤3
4． 5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a<5 B．a≥7 C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
5．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
6．(2013·苏州高二检测)不等式|2x＋y＋m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
7．(2013·南昌高二检测)已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
8．在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．

9．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)(x－y)(x－y－1)≤0； (2)|3x＋4y－1|<5； (3)x≤|y|≤2x．
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