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有关实数系一些基本等价性质的互证

柯华忠 中山大学应用数学04级

实数系的七个基本性质的互相推证似乎不易掌握（要证次），但细细分析证明的思路，可发现一些共同的模式。但凡事有了套路都容易使人的思维产生惯性，十分不利于多角度、多侧面地认识客体。为此，本文在叙述笔者总结的模式以外，还提供几个不在模式内的证明。
I;三种模式
(i)“切”
所谓“切”，是指运用Dedekind分割的思路，根据实数连续性得到一个特殊的临界点。此思路最典型的运用非实数基本定理莫属。但考虑到实数基本定理中构造上类（或下类）往往循以下形式：B={x | x是满足性质P的数集的上界}（或A={x | x是满足性质P的数集的下界}），于是A|B所确定的唯一实数r是B的下确界（同时也是A的上确界），所以可运用实数基本定理的地方均可用确界定理处理。考虑到用确界定理叙述起来较方便，以下证明均采用确界定理。
单调有界定理和区间套定理：分别见课本P295-296 及P297 。
由此二处证明可见，证明的关键是存在性，而点的唯一性是由被证明定理本身的条件所保证的。这是一种一般性现象。除Borel有限覆盖定理外，其余六条基本性质均断言某种特殊点的“唯一存在”性质：这在实数基本定理是上类的最小值点或下类的最大值点，在确界定理是确界点，在单调有界定理是极限点，在区间套定理是公共点，在致密性定理是某子列的收敛点，在Cauchy收敛准则是极限点。对这些定理的证明的关键是推出上述特殊点的存在性，而唯一性总可由定理本身的约束条件得到。这从一个侧面反映了这些实数基本性质不外是对实数这一对象的不同角度的描述而已。
Borel定理
设是的一个覆盖。设B=x |有E的有限子覆盖 。由于Ea s.t. Ea，故在a右侧有B中元素，即B非空。设=supB, 下证0,>0，s.t. -+。不妨设=-,, 则 。由B的构造知有E的有限子覆盖，则构成了上的一个有限覆盖，这与矛盾。故，则构成的一个有限子覆盖。因此命题成立。
此处证明使用了反证法。细细分析证明Borel定理或用Borel定理证明的处理思路，都用上了反证法。原因是其余六条基本性质均是局部性质，而Borel定理描述的是整体性质（均对闭区间而言）。由局部推整体困难，但由被否定的整体推被否定局部则相对简单；由整体推局部殊不简单，但由被否定的局部推被否定的整体则不那么困难。因此，认为Borel定理是其余六条基本性质的逆否形式是合理的。
致密性定理和Cauchy收敛准则
下证致密性定理。设序列有界，则。设中只含的有限项或不含的任意项。由于中不含的任意项，故B非空。设，则中总含的无穷项。对，任意取定，使序列满足。于是是的子列，又，当时，总有，于是，故是的收敛子列。
Cauchy收敛准则的证明与此相仿，不再赘述。
由致密性定理的证明过程可知，有界数列的收敛点所组成的数集的上下确界是可以取得的，即收敛点所组成的数集有最大值和最小值。而这由区间套定理去证明是难以看出的（当然看出后去证明亦是不难的）。由此可见，用不同方法处理同一问题，相当于从不同侧面、不同角度去认识客体，其意义不可小觑。而结合Cauchy收敛准则，收敛点所组成的数集的最大值与最小值相等，由此可见致密性定理与Cauchy收敛准则的联系。
(ii) “套”
所谓“套”，即是运用区间套的思路，套出一个特殊点。区间套的构造总是相同的，但如何引出这个特殊点，却有一点小技巧。事实上，不仅区间套定理，我们可以发现用确界定理、单调有界定理、致密性定理、Cauchy收敛准则的过程中均可通过构造区间套来处理问题。由于平时课本上运用得比较多，此处不再赘述。
(iii) “盖”
所谓“盖”，是指运用Borel有限覆盖定理。如I..所述，证明须结合反证法。
实数基本定理
设是的一个分划，下用反证法证明，有，即假设A无最大值，B无最小值。
任取，得闭区间。由假设，，或者，或者，二者有且只有一个成立。若是前者，必有；若是后者，则必有 。于是开区间，且中有且只有一个成立。则构成的一个覆盖，则有的有限子覆盖。不妨设且没有一个开区间包含另外某个开区间。则，否则不妨设，则不在的任一个开区间中，这与覆盖矛盾。于是不妨设，则由知，，从而，从而，从而，……如此继续下去，经过有限次可得，于是，于是，这与矛盾。于是，有。唯一性易证。
确界定理、单调有界定理、区间套定理
显然均可用的方法处理。仔细分析中待证定理的条件，不难发现它们都有一个良好的易于应用Borel定理的条件：所证特殊点赖以形成的数集泾渭分明地分居特殊点两侧（或一侧有，一侧无）。考虑课本用Borel定理证明区间套定理的思路，可发现亦可作为处理所述性质的统一方法。下证实数基本定理作为例子，亦是结合反证法。
任取，得闭区间。，有开区间
，
于是
这时
构成了的一个覆盖。由有限覆盖定理，，

不妨假设，这就推出了是空集，而这是不可能的。故，有。唯一性易证。
分析此证明思路，不妨设，则如上构造的不可覆盖。从这个角度可更清晰的看出Borel定理是所述性质的逆否形式：若待证特殊点不存在，如上构造的可覆盖比区间，但此时Borel定理不成立。
致密性定理、Cauchy收敛准则
两个定理均是基于收敛点的存在而得证此时收敛点具有这样一个有趣的性质：在该点的任意小邻域内均有数列的无穷项。反之，非收敛点则有相反的性质：该点有一个邻域，其中只有数列的有穷项（或不含数列的任意项）。利用后一性质可轻易用Borel定理反证。此处从略。
比较与，可发现不具有所通有的性质，即中待证特殊点所赖以形成的数集并不泾渭分明的分居特殊点两侧，因此难以仿照构造覆盖。
由(i)(ii)(iii)，我们可以有把握地宣称已掌握了任意两个基本性质的互相推证。然而，程式化、模式化的工作虽然重要，但从它完成那一刻起，它就不再有趣，难以如以往般激动人心。这就譬如工整的大道，虽然四通八达且方便行驶，但路边风景终不如那待开发的崎岖小路。甚或还不是路的路。下面提供几个跳出模式的证明。
II.跳出模式的证明
(i) 证Borel定理
设是的一个覆盖，定义函数

设。若，则。显然形如的区间中只需要有限个即可覆盖，从而中仅用有限个开区间即可覆盖。下用反证法证明不可能。
设，则。
令；
令；
……
令；
……
如此继续下去，得序列满足。由致密性定理，有收敛子列满足。由知，当充分大时，有
及
同时成立。这时

故 ，这与矛盾。故总有。
(ii)用单调有界定理证致密性定理和Cauchy收敛准则
只需证有单调子列即可。若有递增子列，则命题成立。否则，中无递增子列，则；同样，由于在序列中没有递增子列，于是；……如此继续下去，得递减子列，此时命题成立。
(iii)用单调有界定理证确界定理
只证上确界情形。若数集有最大值，命题成立。否则，任取，按以下步骤确定：
若，则令；
否则，若，则令；
……
否则，若，则令；
……
按以上规则必可经过有限步确定，否则为的最大值。确定后，经过类似的规则可在有限步后确定：
若，则令；
否则，若，则令；
……
否则，若，则令；
……
如此继续下去，可得单调递增子列，由有上界知有上界，故收敛，记，下证。实际上，只需证明是的一个上界即可，下用反证法证之。
设。记，则，亦即且。。但又，从而由的构造知，矛盾。故是的一个上界，从而易知。
用此法实际上可证实数基本定理。注意区间套定理可直接有单调有界定理得到，考虑(ii)，可知用单调有界定理可推出除Borel定理外的其余性质，而且是颇具自身特色的证明，亦即不需借用诸如“区间套”的另外一套概念。考察(ii)(iii)，发现二者相同之处均在于构造数列，而相异之处在于：前者条件本身即含有数列，而后者只给出数集，因而后者之构造较前者费力。读者诸君可能会发一疑问：既然用单调有界定理几乎可全部证明余下性质，为何不将其列入模式之一？此有两个原因：一，笔者认为“几乎可全部证明”并不等于“可全部证明”，而“可全部证明”是笔者总结模式的要求之一；二，模式中的思路有很强的几何直观，而且同一模式中思路统一，但单调有界定理的似乎不够直观，而且(ii)(iii)思路之异给人感觉似乎强于思路之同。自揣有此二因，故不列入“模式”部分。
另外，容易发现致密性定理、Cauchy收敛准则亦可用此思路处理除Borel定理外的余下性质。这样，除区间套外，我们非常熟悉的数列在实数基本性质之互证中有了一席之地。前面不说可用此推证Borel定理，非不能也，实不为也。因为所构想之种种方法，皆以确界定理思路作基本，毫无自身特色可言。
本文提供了笔者总结的三种模式（或许应为四种）及一些比较灵活的证明，并述及笔者学习实数系基本性质的一些心得体会。偏见浅陋不可避免，望读者诸君指正。

参考书目：
《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月
《数学分析的典型问题与方法》，裴礼文著，高等教育出版社，1993年5月
《数学分析经典习题解析》，孙涛编，高等教育出版社，2004年4月

邓东皋点评：
你在这里写了不少新证明，都很不错。但模式与非模式，本非泾渭分明，关键在于看清本质，找出简洁而又有兴趣的证明。全文的文字解释稍嫌繁琐。写文章要简明，字简意赅，惜墨如金。不知以为然否？