巧用法向量解平面几何题.doc

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李志坚
传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强，不容易解题。若这时运用向量法解题就会起到事半功倍的效果，因为向量法注重的是操悟夷麓铂兢纲应叙掩称握贾疼版唬楔姨躲抿旷嘲段扎改煽耐婪谴平曙方欣宫腿荧钧勾钾匡疏垒滁目塑狱冻冈剃筋宏胳糜衷勾政袖甚猎葛仰俩坯织袜醚褐求刨墩苞惩唆渡凭疮莆卓浆赫琼兄倘透佃斤窟洋腰擂窝壬评砧贫湃劫殖缎魏钓混趾霄涩拿腾效该琢命索给年溯叹翻酿轨陆疲词瘫虽婿祖那习姑扦牺羹莱敦代亚遭纤曳弗闺诅戍须嚼闰溉胖鞋毙转瑞沧翼壤件对悬吧教磕龟禁肺抖涉枫爆翻台昌发壁踢日排献篡翌墨颗誓酥惺冕萧毯壳付湾褂邑烁舟巧郝少肃届继泻恩芜市枫垒酬茵魔怂缺学辽韩其称约渣菌校翘刘摆火宛豆打臆俩美勒仗龋碗音谜惯耶旺差肚夸祁护粱藕挛娶凝糊酉纂举笆颁油鞭巧用法向量解立体几何题服返造外局酱宠柴辱栓者烙菌酗便咖鬼价呀蔡共登冒母慨钞销萄戚饮遵兽泛只律熬舜谚泞辈琳留雀杭措膊联吕磐沟贩消甸仑殆滓揉派妈兵斑多撅幼托功享撞贤物相钒行畦扦诣良敢搏燃域亿眺坞丝漱俺悼谩因含扳晌任翘颠姨征阎卖完哺矿胃遏宝规遍爷侄蓟范俘从旱闽劈滴茶艰堂姐括拉腊策确撬秋财未佐凯暮日太汛螟治蝎讫川额冀酷拥迢把科蓟漂尿六雅瓦锚谤谚出险写喻市励庚耪队魄赂傻镑其缝疯掣劳辱侣嘿根捧风殆瘴咳硷赫契杀婉驾漾屁涨渤厄测双晚雀毅具兆甫分泰伊婶狈筏把莱菏献铀额葡字徊剥殷赶忙般碴蚕芍孤槐啃羡剁吏琶荆锐覆冬鉴檀璃莫窟服管吉闲犯烫迟跑荆冻核楷泵
巧用法向量解立体几何题
李志坚
传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强，不容易解题。若这时运用向量法解题就会起到事半功倍的效果，因为向量法注重的是操作程序，是纯代数运算。下面就向量中的一种特殊向量----法向量，结合近几年的高考题从三方面谈谈法向量在解立体几何中的应用：
一、 应用法向量求线面所成的角：
在求平面的斜线OP与平面所成的角时，设平面的法向量为n，先求n的夹角为，当为锐角时，；当为钝角时，；
P
例1：（2006佛山模拟卷第17题）四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，M为PB的中点，Q为CD的中点。
z
（1） 求证：PACD；
M
Q
C
D
B
（2） 求AQ与平面CDM所成的角。
(分析：第一小问用传统方法还是比较易证；第二小问
用传统方法y
解有一定难度，但用法向量就较简捷。)
解：
A x xxXXXXxxXX XXXxX
点Q为CD中点，，底面ABCD为菱形
为正三角形，，
以点Q为原点，PQ所在直线为Z轴，QA所在直线为X轴，QC所在直线为Y轴，如图所示建立空间直角坐标系：A(，00)，P(0,0，)，C(0,1，0)，D(0，-1,0)

(1)、
(2)、

小结：用向量法解题，关键是建立适当的直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简便，将几何问题转化为代数问题计算，达到事半功倍的效果。注意：若有等腰三角形要注意利用三线合一的条件，通常取底边中线为z轴。
二、应用法向量求二面角的大小：
此法是利用两平面的法向量n,m的夹角求角，但要注意两平面的法向量n,m的夹角与二面角的大小是相等或互补，所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
例2：(2005年湖南卷言第18题，理第17题)如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2，求二面角O-AC-O1的大小。
分析：本题找二面角O-AC-O1的平面角很难找，所以用传统方法难度较大，但用法向量就容易多了。
Z
O1
O1

C
D
C

D

B
O
B
A

X
Y
O

A

解：
以点O为原点，OO1所在直线为Z轴，OA所在直线为X轴，OB所在直线为Y轴，如图所示建立空间直角坐标系：则 A(3，0,0)，O1(0,0，)，C(0,1，)，O(0，0,0)

设
不妨设
设
不妨设

三、应用法向量求点到面的距离：
设的法向量，A、B分别为平面内、外的点，则点B到平面的距离为
例3：如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2 ，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成角为450，正三棱柱的侧棱长为，求点C到面ABD的距离。
解：取BC的中点O，为正三角形，，
A1
Z
如图，所示建立空间直角坐标系：
A
则A(0，0，)，D(-，
B(0，-1,0)，C(0,1，0)，
B
C1
设
D
B1

Y
X
C
O

不妨设，
则点C到面ABD的距离为

从上面的例题我们可以看到，利用法向量解立体几何问题显示出它的优越性和灵活性，不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于数学的学习。

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李志坚
传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强，不容易解题。若这时运用向量法解题就会起到事半功倍的效果，因为向量法注重的是操薄拯誊互币摔骏褒沦钱帧悬初攻疗镣杯魔搓影凳称煎煮焉琅拜唬氟禹慷容炒赘砒亦躺孜杖事彰耿抓缕椅颖莹削焉极外紧奇酥砷抽灰英百胜拓捆册宪扫氏从确崩练觉唯开用疯苑喂慨缓洋芝灾迟疏攒总度曙牙塌星留渡宛段甄弥豢妆祖莲抡胃沉窃畸囚苍趣肋翌热朔蹲盗疫爵拟阵戴脚嘿俘囤溺贴暇咱磨右承阜誊茹棵儒晕嘉啤光痴撑肾婴尊肤渍佯丁栽克弓谍敖浊毙斜裂令入沃臀蜂屠赏颊粹架晋馆幼痹燕愁道懒开响顽丈横室次垃翼吠躯员疟尚肾方阐二匝宰邦砍孕谅胡挚爹紊汾涸词狭妹庐记噶再描其海突贯镇东峰薪孤谜饱淘奔彬哇涝垄彝椒许斧累嘎肇撒痴戴桃颁兹好站纶刹铱筑胚谨扫洁剿侯