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单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,抛物线及其标准方程,欢迎指导,1,抛物线的生活实例,投篮运动,2025/3/26 周三,2,赵州桥,2025/3/26 周三,3,喷泉,2025/3/26 周三,4,复习提问,：,若动点,M,满足到一,个定点,F,的距离和它到一条定直线,l,的距离的比是常数,e,.,（,直线,l,不经过点,F,）,M,F,l,0,e,1,l,F,M,e,1,（,1,）,当,0,e,1,时，,点,M,的轨迹是什么,?,（,2,）当,e,1,时，,点,M,的轨迹是什么,?,是椭圆,是双曲线,e,=1,？,.,F,l,H,M,实验一,2025/3/26 周三,5,平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,（,l,不,经过点,F,）的距离相等的点的轨迹叫做,抛物线,一、,抛物线定义,其中,定点,F,叫做抛物线的,焦点,定直线,l,叫做抛物线的,准线,l,H,F,M,定义,告诉我们：,1,、判断抛物线的一种方法,2,、抛物线上任一点的性质：,|MF|=|MH|,2025/3/26 周三,6,二、抛物线的标准方程,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,1,、建系、设点,2,、动,M,（,x,，,y,）点所满足的条件,3,、,写出,xy,所满足的关系式,4,、化 简,2025/3/26 周三,7,准备工作,:,参数,p,的引入,实验二,2025/3/26 周三,8,F,M,l,H,K,设,|KF|=p,它表示焦点到准线的距离故,p0,想一想,交点,N,位于,KF,的什么位置？,N,2025/3/26 周三,9,F,M,l,H,K,建轴,x,y,y,O,y,O,O,N,N,F,K,2025/3/26 周三,10,1.,标准方程的推导,:,x,y,o,F,M(x,y),l,H,K,设,KF=p,则,F,（，,0,），,l,：,x,=,-,p,2,p,2,设动点,M,的坐标为（,x,，,y,），,由,|MF|=|MH|,可知，化简得,y,2,=2px,（,p,0,）,2025/3/26 周三,11,L,F,K,M,H,(1),(2),(3),方程的推导,L,F,K,M,H,L,F,K,M,H,x,x,x,y,y,y,o,o,o,y,2,=2p(x,),P,2,y,2,=2p(x+),P,2,y,2,=2px,y,2,=2px,（设,|KF|=p,）,y,2,=2px,2025/3/26 周三,12,把方程,y,2,=2,px,（,p,0,）,叫做抛物线的,标准方程,而,p,的几何意义是,:,焦点到准线的距离,其中 焦点,F,（，,0,），准线方程,l,：,x,=-,p,2,p,2,K,O,l,F,x,y,.,一条抛物线，由于它在坐标平面内的焦点位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式,.,2.,抛物线的标准方程,2025/3/26 周三,13,图形,标准方程,焦点坐标,准线方程,3.,四种抛物线的标准方程对比,2025/3/26 周三,14,寻找：区别与联系,一、四种形式标准方程的共同特征,1,、二次项,系数,都化成了,_,2,、四种形式的方程一次项的系数都含,2p,1,3,、四种抛物线都过,_,点,，且焦点与准线分别位于此点的两侧,O,2025/3/26 周三,15,1,、,一次项,(X,或,Y),定焦点,2,、一次项系数,符号,定开口方向,.,正号朝正向，负号朝负向。,二、四种形式标准方程的区别,寻找：区别与联系,2025/3/26 周三,16,例,1,已知抛物线的标准方程是,y,2,=6,x,，,求它的焦点坐标和准线方程；,解,:2,P,=6,P,=3,所以抛物线的焦点坐标是（，,0,）,准线方程是,x,=,是一次项系数的,是一次项系数的,的相反数,2025/3/26 周三,17,练习,1,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（,1,）,y,2,=-20,x,（,2,）,y,=6,x,2,焦点,F(-5 ,0),准线：,x=5,焦点,F(0 ,),1,24,准线：,y=,1,24,2025/3/26 周三,18,例,2,已知抛物线的焦点坐标是,F,（,0,，,-2,）,求它的标准方程。,解,:,因为焦点在,y,的负半轴上,所以设所,求的标准方程为,x,2,=-2,p,y,由题意得 ，即,p,=4,所求的标准方程为,x,2,=-8y,2025/3/26 周三,19,变式,已知抛物线的准线方程是,x=,求它 的标准方程。,1,4,2025/3/26 周三,20,解题感悟,:,求抛物线标准方程的步骤：,（,1,）,确定抛物线的形式,.,（,2,）,求,p,值,（,3,）,写抛物线方程,注意,:,焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,结束,2025/3/26 周三,21,求过点,A,（,-3,，,2,）的抛物线的标准方程。,A,O,y,x,解,:,（,1,）,当抛物线的焦点在,y,轴,的正半轴上时，把,A,（,-3,，,2,）,代入,x,2,=2,py,，得,p,=,（,2,）当焦点在,x,轴的负半轴上时，,把,A,（,-3,，,2,）代入,y,2,=,-,2,px,，,得,p,=,抛物线的标准方程为,x,2,=,y,或,y,2,=,x,。,巩固提高,：,2025/3/26 周三,22,1,、,理解抛物线的定义,四种标准方程类型,.,2,、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程,3,、会,求,抛物线,标准方程,小结,2025/3/26 周三,23,作业,P,73 A,组：,1,2,（必做）,补充：求经过点,p,（,4,，,-2,）的抛物线,的标准方程。,2025/3/26 周三,24,P66,思考：,二次函数 的图像为什么是抛物线？,当,a0,时与当,a0,时，结论都为：,2025/3/26 周三,25,y,x,o,y=ax,2,+bx+c,y=ax,2,+c,y=ax,2,2025/3/26 周三,26,例,3,：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为,4.8m,，深度为,0.5m,。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,2025/3/26 周三,27,练习,2,根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程,（,1,）焦点是,F,（,3,，0,）,（,2,）焦点到准线的距离为,2,y,2,=12x,y,2,=4x,y,2,=,4x,x,2,=4y,x,2,=,4y,2025/3/26 周三,28,挑战教材,:,想一想,?,定义中当直线,l,经过定点,F,，则点,M,的轨迹是什么？,经过点,F,且垂直于,l,的直线,l,F,2025/3/26 周三,29,O,y,x,F,M,例,4,M,是抛物线,y,2,=,2,px,（,P,0,）上一点，若点,M,的横坐标为,X,0,，则点,M,到焦点的距离是,X,0,+,2,p,（,X,0,，,y,0,),X=,-p/2,2025/3/26 周三,30,解法一：以,为,轴，过点,垂直于,的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,M(x,y),x,y,O,F,L,2025/3/26 周三,31,解法二：以定点,为原点，过点 垂直于,的直线为,轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ，的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,M(x,y),x,y,F(O),L,2025/3/26 周三,32,y,2,2p,(p,0),F(,，,0),2,p,2,p,x,y,L,F,o,M,2025/3/26 周三,33,