余弦定理的证明方法大全(共十法).doc

余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在中,已知,,,则有
,
,
.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在中,已知,,及角,求证:.
证法一:如图1,在中,由可得:

即,.
证法二:本方法要注意对进行讨论.
(1)当是直角时,由知结论成立.
(2)当是锐角时,如图2-1,过点作,交于点,则
在中,,.
从而,.
在中,由勾股定理可得:

即,.
说明:图2-1中只对是锐角时符合,而还可以是直角或钝角.若是直角,图中的点就与点重合；若是钝角,图中的点就在的延长线上.
(3)当是钝角时,如图2-2,过点作,交延长线于点,则
在中,,.
从而,.
在中,由勾股定理可得:

即,.
综上(1),(2),(3)可知,均有成立.
证法三:过点作,交于点,则
在中,,.
在中,,.
由可得:

整理可得.
证法四:在中,由正弦定理可得.
从而有,………………………………………………………………①
. …………………………②
将①带入②,整理可得.…………………………………………③
将①,③平方相加可得.
即,.
证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点,,,再由两点间距离公式可得.
即,.
证法六:在中,由正弦定理可得,,.
于是,

即,结论成立.
证法七:在中,由正弦定理可得,,.
于是,

由于,因此

. 这,显然成立.
即,结论成立.
证法八:如图5,以点为圆心,以为半径作,直线与交于点,延长交于,延长交于.
则由作图过程知,
故.
由相交弦定理可得:,
即,,
整理可得:.
证法九:如图6,过作∥,交的外接圆于,则,.分别过作的垂线,垂足分别为,则,故.
由托勒密定理可得,
即,.
整理可得:.
证法十:由图7-1和图7-2可得,
整理可得:.

余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.

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