命题逻辑习题及其参考答案.doc

1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：
 ① 只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。
 ② 目前，０１号案件还是一起悬案。
 ③ 如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。
 ④ 如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。
 ⑤ 现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。
   根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？
解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是
好朋友。据题意有：
1.
{1}
┐p→┐（q∧r∧s）

P
2.
{2}
┐p
P
3.
{3}
┐q→（┐q∧┐r）
P
4.
{4}
┐r→t
P
5.
{5}
┐t
P
6.
{4.5}
r
T4.5否定后件
7.
{1.2}
┐（q∧r∧s）
T1.2肯定前件
8.
{1.2}
┐q∨┐r∨┐s
T7德摩根
9.
{1.2.3}
q
T3.6否定后件
10.
{1.2.3.4.5}
q∧r
P6.9组合式

答：AB作案，
至于C尚待侦查。

2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：
    ① 该班有些学生会使用计算机。

    ② 该班有些学生不会使用计算机。
    ③ 该班班长不会使用计算机。
    已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？
解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。
3．下面有三句话：
    ① 如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。
    ② 如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。
    ③ 甲不是篮球队员。
    已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？
 （要求写出推导过程）
解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：
    ①{1} ┐（p→q）           P
    ②{2} ┐（q→p）           P
    ③{3} ┐p                P
    ④{1} p∧┐q               T①等值关系
    ⑤{1} p                    T④合取分解
    ⑥{1.3} p∧┐p             T③⑤合取组合
    ⑦{1} p                    T归谬③⑥
    ⑧{2} q∧┐p                T②等值关系
    ⑨{2} ┐p                  T⑧合取分解
    ⑩{1.2} p∧┐p             T⑦⑨合取组合
    ⑾{1} （q→p）             归谬②⑩
可见：第二句话为真，一三两句为假。甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。
4．已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？ (要求写出推导过程)
    (1) 该班所有的学生是团员。
    (2) 该班所有的学生不是团员。
    (3) 该班班长不是团员。
解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。

5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求
   （1）PES
   （2）MOP → SIP
   （3）SIM
    证明：
    (4) SEP              T(1)换位
    (5) 并非SIP          T(4)矛盾对当关系
    (6) 并非MOP          T(2)(5)否定后件
    (7) MAP              T(6)矛盾对当关系
    (8) SIP              T(3)(7)直言三段论
    (9) SIP且并非SIP      T(5)(8)合取组合
    (10) 并非((1)∧(2)∧(3))  归谬

6．已知
    ① 非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）
    ② Ａ→Ｃ
    ③ Ｃ→Ｂ
    求证：  Ａ→Ｄ
    证明：
    ④ A→Ｂ                    T②③假言三段论 
    ⑤ 并非(Ｃ∧非Ｄ）         T①④否定前件
    ⑥ 非C∨D                   T⑤德摩根
    ⑦ C→Ｄ                   T⑤蕴涵否析
    ⑧ Ａ→Ｄ                   T②⑦假言三段论

7． 已知：
    ① A→（B∨C）
    ② 非 B→A
    ③ 非（D→B）
    ④ 非 D ← 非E
    求证E∧C
    证明：
    ⑤ B∨A                     T②蕴涵否析
    ⑥ D∧非B                  T③蕴涵否定等值关系
    ⑦ 非B                      T⑥组合分解
    ⑧ D                       T同上
    ⑨ E                        T④⑧否定前件
    ⑩ A                       T⑤⑦否定肯定
    ⑾ B∨C                     T①⑩肯定前件
    ⑿ C                        T⑦⑾否定肯定
    ⒀ E∧C                     T⑨⑿合取组合
12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。
 证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。这样就只有1）AO组合能满足要求。这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。综上该有效三段论就为第二格，如下所示：
   PAM       图a
   SOM
   SOP

13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。
先作出第四格的图式如下：
   P——M    图b
   M——S
   S——P
    证明：1）令大前提为POM。这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。所以小前提不能是O命题。

14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。
    证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前提是否定的。大前提只可能是PAM了，而M在此并没有周延，因此，要求M在下面的小前提中周延，所以，小前提只能是全称否定命题MES。也只有如此，结论才可以得到SEP的结论。

15．已知某有效三段论的小前提是否定命题，求证：该三段论的大前提只能是全称肯定命题。
    证明：小前提否定的，结论就是否定的，则，大项在结论中周延，因而大项在前提中也要周延；大前提如果是否定的则违反规则3，所以大前提为肯定命题。又因I命题主词谓词均不周延，大前提就只能是A命题，大词处于主项位置，具体形式该为PAM。

16．已知：
     （1）A真包含于B。
     （2）有C不是B。
     （3）若C不真包含A，则C真包含于A。
     请问：A与C具有什么关系？请写出推导过程，并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。
    推理：
     （1）所有A是B                    P
     （2）有C不是B                    P
     （3）若有C不是A，则所有C是A      P
     （4）有C不是A                    T(1)(2)三段论
     （5）所有C是A                    T(3)(4)肯定前件
图c
17．某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。他们之间的最佳配合有以下规律：
   （1）要是4号上场，6号也要上场。
   （2）只有1号不上场，3号才不上场。
   （3）要么3号上场，要么6号上场。
   （4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。
    某场比赛需要1和12号同时上场。问：为了保持最佳阵容，这场比赛中，9号该不该上场？（要求写出导过程。）
 解：
    1. {1} 4→6                   P
    2. {2} 1→3                   P
    3. {3} （3∧┐6）∨（┐3∧6） P
    4. {4} (9∧12) →4            P
    5. {5} 1∧12                  P
    6. {5} 1                      T5分解
    7. {5} 12                     T5分解
    8. {2.5} 3                    T2.7肯定前件
    9. {2.3.5} ┐6                T3.9肯定否定
    10. {1.2.3.5} ┐4             T1.9否定后件
    11. {1.2.3.4.5} ┐（9∧12）   T4.10否定后件
    12. {1.2.3.4.5} ┐9∨┐12     T11德摩根
    13. {1.2.3.4.5} ┐9           T7.12否定肯定
 答： 由此可知9没有上  

18．某商店被盗，员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。
   甲：我没有作案，作案的是乙。
   乙：我和丙都没有作案。
   丙：除非甲作案，否则乙不会作案。
   丁：甲和丙中至少有一人作案。
   已知这四句话中只有一句为真，问到底是谁作案？谁说的是真话？（要求写出推导过程。）
 解：
   这是个典型的找矛盾的题，只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的，而余下的其他人的说法就是错的，这样就能解开谜团。我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案，他们几个的供词如下：
    甲：┐甲∧乙
    乙：┐乙∧┐丙
    丙：┐甲→┐乙
    丁：甲∨丙
 分析：甲：“没有甲乙也会作案”，而甲说：“没有甲乙就不会作案”；显然甲和丙的话是矛盾的，必有一真，据题设只有一句真话，那么乙和丁的话就不可能真，而真实的情况该是“并非（┐乙∧┐丙）”（a），“并非（甲∨丙）”（b）。从（a）可知或乙或丙作案（乙∨丙），从（b）甲和丙都没有作案，即（┐甲∧┐丙）。从（b）知道乙没有作案（┐丙）（c）；甲也没有作案（┐甲）（d）。既然如此，据（a）（c），那就是乙作案了（乙）（e）。据（d）（e）得知“┐甲∧乙”为实情，甲说的是真话，那么丙说的就是假话了。

19．A、B、C三人从政法大学毕业后，一个当上了法官，一个当上了检察官，另一个人做了律师。但究竟谁具体做什么工作，人们开始并不清楚，于是作出了如下测:
    甲：A做了律师，B做了法官。
    乙：A做了法官，C做了律师。
    丙：A做检察官，B做了律师。
    后来证实，甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。请问：A、B、C三人各担任什么具体司法工作？（要求写出推导过程。）
 解：
    设甲的前半句话为真，即“A是律师”，则乙的猜测完全错了，故“A是律师”为假，甲的后半句话为真，即“B是法官”。
   “B是法官”为真，则丙的后半句话为假，其前半句话为真，即“A是检察官”。
   “A是检察官”为真，则乙的前半句话为假，其后半句话为真，“C是律师”。

20．已知下面三句话中两真一假，试说明甲和乙至少有一人是电工。
   （1）如果丙不是木工，那么甲是电工。
   （2）如果丁不是木工，那么乙是电工。
   （3）丙和丁都是木工。
 解：
    通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题，找到这对矛盾的命题就好办了，矛盾的命题是必有一真必有一假的，所以这个假的命题一定在其中；按题意则余下的那个命题就是真的了。你可以来找找！但，今天这个题有些特别，我们得换一个思路。我用下标m表示某人是木工，下标d表是电工：
    1. {1} ┐丙m→甲d           P
    2. {2} ┐丁m→乙d           P
    3. {3} 丙m∧丁m             P
    4. {4} ┐甲d∧┐乙d         P（假设甲乙都非电工，如果有矛盾就证明至少为d）
    5. {4} ┐甲d                T4分解
    6. {4} ┐乙d                T4分解
    7. {1.4} 丙m                T1.5否定后件
    8. {2.4} 丁m                T2.6否定后件
    9. {1.2.4} 丙m∧丁m         T7.8组合
    这样一来就没有一个为假的命题了，与题设不相符合，所以第4行的引入不能满足该题条件，用归谬律将4归谬，所以证明：┐（┐甲d∧┐乙d），即：甲d∨乙d

21．已知下列三句话一真两假，问：甲、乙、丙、丁的名次如何排定？
   （1）若乙第二，则甲第一。
   （2）若丙第三，则甲第一。
   （3）甲不是第一，
 解：(a)甲或是第一或不是第一；若甲是第一（后件真，则这个蕴涵一定为真），则(1)、(2)均真，不合题设；故(3)“甲不是第一”为真； (b)(3)真，根据题设，则(1)与(2)均假，因而(4)乙是第二、(5)丙是第三、(6)甲不是第一；(c)由(4)、(5)、(6)可推甲、乙、丙和丁的名次依次为第4、2、3、1名。

22．已知以A、B为前提可以必然推出C，而D与C矛盾，E与A矛盾。试证明：由D和B可以必然推出E。
 解：
    1. {1}        A∧B→C                         P
    2. {2}       （D∧┐C）∨（┐D∧C）           P
    3. {3}        （E∧┐A）∨（┐E∧A）          P
    4. {4}         D                              P
    5. {2.4}       ┐C                            T2.4肯定否定
    6. {1.2.4}      ┐（A∧B）                    T1.5否定后件
    7. {1.2.4}      ┐A∨┐B                      T6德摩根
    8. {5}         B                              P
    9. {1.2.4.5}    ┐A                           T7.8否定肯定
    10. {1.2.3.4.5}  E                            T3.9否定肯定
    11. {1.2.3.4.5}  D∧B                         T4.8组合
    12. {1.2.3}     D∧B →E                      D4.8.10.11
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