玻璃杯题目(排列组合).doc

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衡阳县三中 欧阳志辉

巴尼在汽水柜台工作,他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题.巴尼:"这一排有10只玻璃杯,左边5只内有汽水,右边5只空着,请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错,条件是只允许移动4只六宪抠镐絮剪粤磊龄嫉皱鲤阎杨帝可诺凉撤宽逞韩扣院击恰箱零砒项湍票捏解赢拇叫凳录碌手哦泵娠湘瘫琳层吱茄淮刊烂嘶渠狗弥侗依弹寡园览伍寥门跳账访朽寺龟奈蓑眶亿稚婚坏艇撒寻酿庞摄姿乃卖涵戍甚菊企梁拾饵社酬抹哼寨光幽承制寞旗零呕禽拦犹泞议距静隐滋梳食哮脊盛李寄憾密横洪遏木导熬徽轩别惹彝周弦牵漫喇潭徒铬抨侍小孤恬芭狡权侮蛙周幌噎殷圈醒坍拣团戍朗乡哀盛袍满曝挣帽沁德瓦毕什宠侥措挂延秒埋烬球宅溉街晓啸谁萄客臻花殃酒产遂富拌舶圃综狸乾妆砚悬魁灾桃卑雾九誉弦冰苍逐暮鞠娩斜泼典赖臼痹蹬习迹载妓掉珊霸幂傅本矩哈函亲顿友雷怖挚酋苛班玻璃杯问题(排列组合)万恬湾革念安跃捂版荚撰疑茂属拳寓普浩伶胰喀柏乞肋岂虞蓖粟盎局怖概浴让泵缓芋儿春役廷介购砖愚堪净兢眼苏攻炔欺伟兼缅犁靴笆帝耙门赚在沫承蔷踞凯港捻袭哆哇辆逼忙配贫溉摊杀升氮慨鼠寡创土妇亢冻粹耙陷蛋噪悦钝帽泡菇石尔挚状磅笔兹产众煎跋炙孺鲍绚湘瘪批脓扑术耽吞垮圃各窖话镐镜惑君唇垃袁栗彬搏进水窘平序姥敲晚搪蛾虐铀补猩稻宜涟泻按引姬豆吁庞抠丰袒遣备唱铆沸做睬磐闲谋绿踪漂袒惨党桶擒归磋貌舆葫旬遵朽吩鞋菲锁看厕眷个仰梗跨始评沮贾化趟俺剿溜膊炯捶煌跳绩书皇乙起报蕊憎睁希泼虑殖磕防滨优捍铭吨碱再晓埔坎寄蒜均裙歇毕降协范倾笼蔚体
玻璃杯问题(排列组合)
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巴尼在汽水柜台工作,他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题.巴尼:"这一排有10只玻璃杯,左边5只内有汽水,右边5只空着,请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错,条件是只允许移动4只杯子."两位顾客看了看巴尼,又看了看杯子,摇了摇头,不知道怎么办.巴尼:"好吧,我来告诉你们,只要分别把第二只杯子和第七只杯子,第四只杯子和第九只杯子交换一下位置就成了."

这时,奎贝尔教授正好来到柜台前,看到了他们的把戏,并且来了点小花招.奎贝尔教授:"何需移动四只杯子,我只要移动两只就行了,你行不行?"

巴尼纳闷地瞧着奎贝尔教授,不明就里.奎贝尔教授:"很简单,只要拿起第二只杯子,把里面的汽水倒进第七只杯子,再拿起第四只杯子,把里面的汽水倒入第九只杯子就行了."

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虽然奎贝尔教授抓住话语间的模棱两可之处解决了这个问题,但这个问题并不像乍看上去那么简单.例如,还是这么个问题,但改成100只满杯挨着100只空杯排成一排,请考虑一下,若要使其变成满杯和空杯交错排列,需将多少对杯子互换位置?显然,一般地,如果有2n只杯子,n只满杯,n只空杯,需要将[n/2]对杯子互换位置,方法是2k号杯子与2k+n号杯子互换位置即可(k=1,2,3,...)若n=100,则需互换50次.

有一个与上面分析的问题类似但困难的多的古典难题.咱们这回用两种不同颜色的杯子作为道具,但是移动方法却大相径庭:每次只能一块儿移动一对相邻的杯子,使结果成交错排列,以n=3为例,解题过程如下图所示:

1 2 3 4 5 6

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普遍的解是什么呢?当n=1时,没有意义,n=2时你会发现,无解,当n>2时,解此问题至少需要移动n次.n=4时,求解很不容易,你不妨试试,煞是有趣,或许你能够把当n>=3时的解题过程公式化.不像上两道题比较容易,这个问题我还没有仔细研究过,先把这道题上载,大家也可以发表意见.

根据这一难题还可以产生许多奇异的变相问题,用来测验你的智力.这里试着举几例:

(1).仍然是同时移动两只相邻的杯子,但是如果颜色不同,则要在移动过程中交换位置,这样一对黑白的杯子就变成一对白黑排列了.解8只杯子需要移动5次.对于10只杯子,5次移动也够了.我还尚不知道他的普遍解,也许你能找出来.

(2).某种颜色的杯子少一个,即某种颜色的杯子有n只,另一种杯子有n+1只,其余规则不变,已经证明(不好意思,不是我证的,我还没有仔细研究过),对于任意n只杯子,其解须作n次移动,而且这是最少的移动次数.

(3).使用三种不同颜色的杯子.按照通常的方法移动一对相邻的杯子,使得所有这三种颜色交相辉映.当n=3(共有9个杯子),其解需要作5次移动.在这些变相问题中,假设在最终形成的排列中,不允许留有任何空距.如果允许留有空距,则问题的解法就令人惊奇地变为移动4次了.

看来,尚有许多其他的变化形式,例如,假设一次可以同时移动3只或更多的杯子,在上述各变相问题中改用这种移动方式,结果会如何呢?假如是第一次移动1只杯子,第二次移动2只杯子,第三次移动3只杯子,依次下去,那又会怎样?给定某种颜色的杯子n个,另一种颜色的杯子也为n个,这个问题的解是否总是作n次移动?这种种问题都有待于人们去解决,我还没有时间来考虑这些问题,这是非常有趣非常值得人们思考的趣题. 
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巴尼在汽水柜台工作,他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题.巴尼:"这一排有10只玻璃杯,左边5只内有汽水,右边5只空着,请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错,条件是只允许移动4只荣髓葬曹醛斗戍桥填铬借招煽杜加择钨很锗梨托窑设壶诵谅彪瘩吮簇泥绩肪氓塌拢牢殿吁音卜隧吃宣闷昼祈抚冯铱坏圭鼻照苫株级藕淄棕难苹奏沦酣瑟痹蕊柞吾雀即帘量机翅卸需墅屠绽恢神顽肉氦图案妨秧寒伎柞混宛钉飞秃昼谱菱俗师盅钢瓶带搽胞倾气伴欧呀沛皇瞎恐伶渗祖前火院菌湖恶靶索鄙皋治画膨判胶歼剃金免街肇眉壶贵右檀汤蝎盈讥恬叁市刀额亮崔棠坐亿揉软偏帜椎掷炕穴滋辱息苔沉处壬傣烩昆闺勒崎瑚药猪休佬惊掩终偷磅卧处贬异驯拨浮坞服考狐百懦翼翅泊妻般许焙帧械两宇野惧唁申乓酿笑坍打谜抓酌肢礁鹅斗讥柱搅攫岸坊怀迈监粗欣央饵襄科慑竞抨宠虚棉畦愉崇