几何证明教案.doc

教师教案表
课 题
几何证明
授 课 时 间
2011年 月 日 星期 _____时______分------______时_______分
教 师

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年级
初三
学科
数学
作业完成情况

教学内容
命题与证明
教学目标
了解命题与定理之间的关系，熟悉几何证明的基本方法与步骤
能够运用演绎证明的思想证明常见几何问题
教学重点
掌握演绎证明的证明思路
教学难点
能够运用数学证明思路证明有关几何问题
新课内容
几何证明的有关概念
定义：能界定某个对象含义的句子叫作定义；
命题：对某一件事情做出判断，像这样判断一件事情的句子叫作命题；数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.
真命题：其判断为正确的命题叫作真命题；
假命题：其判断为错误的命题叫作假命题.21世纪教育网
公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.
定理：有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
证明一个命题为真命题一般需要经过以下三个步骤：
　 a、作图并标出必要字母或符号。
　　b、由命题的题设和结论，写出“已知”和“求证”。
　 c、通过分析，写出推理过程。
证明一个命题是假命题，只要举出一个反例.
一般来说，证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段，有“实践证明”、“历史证明”、“举例证明”等多种形式；而对数学结论的正确性进行证明，还有更为严格的形式．
推理论证称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．
演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式．在本书中演绎证明以后简称为证明．
证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来

【典型例题解析】
例1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论.
（1）对顶角相等； （2）同位角相等，两直线平行；
E
A
B
C
D
（3）同角的余角相等.
例2．已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D=180°
求证：CB∥DE.
分析：要证明CB∥DE，只要证明∠C+∠D=180°,
由已知∠B+∠D=180°，因此只要证明∠B=∠C，
而这由已知条件AB∥CD是可以得到的.

例3. 已知：如图，点D、E、F分别是AC、AB、BC上的一点，DF∥AB，
∠DFE=∠A. 求证：EF∥AC.
分析：要证明EF∥AC，只要证明∠BEF=∠A
（或∠AEF+∠A=180°）,又已知∠DEF=∠A，
因此只要证明∠BEF=∠DFE，而这由已知条件
DF∥AB可以得到.

C
D
O
B
A
A
C
D
F
E
B
例4. 已知：如图，AC与BD相交于点O
OA=OD，∠OBC=∠OCB. 求证：AB=DC.
分析：将AB和DC分别看成是△AOB和
△DOC的边，那么要证明AB=DC，只要
证明△AOB和△DOC全等.
D
B
A
C

例5 已知：如图，AB=AC，DB=DC.求证：∠B=∠C.
分析： 要证明两个角相等，可利用全等三角形的性质.
观察图形，如果联结AD，那么∠B和∠C就分别为
△ABD和△ACD的内角，这时要证明∠B=∠C，只要
证明△ABD≌△ACD.

C
A
B
D

变式练习：
1）图形变换成如图，能否证明？
2）把条件AB=AC与∠B=∠C对调能否证明

例6． 已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，
点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.
求证：BE‖CF.
分析： 要证明BE‖CF，只要证明∠1＝∠2；已知∠ABE＝∠DCF，
又由三角形的外角性质可知∠1＝∠A＋∠ABE，∠2＝∠D＋∠DCF，
因此只要证明∠A＝∠D.

例7．已知：如图，AD∥BC,E是线段BC的中点，AE=DE. 求证：AB=DC.
分析：要证明AB=DC，只需要证明△ABE≌△DCE；由AE=DC，可知∠3＝∠4，又因为AD∥BC，所以得到∠1＝∠2；只要再找出一条边或一个角的情况即可；结合E是线段BC的中点，可知EB=EC，可以证明△ABE≌△DCE.

同步练习
1． 已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，
点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.
求证：BE‖CF.

2．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，
OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，
∠ABE＝∠DCF. 求证：BE‖CF.

例8. 已知:如图，DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.
求证:AD⊥BC.

例9. 已知: 如图，在△ABD中,AC⊥BD,垂足为
点C,AC=BC.点E在AC上,且CE=CD.
联结BE并延长交AD于点F.
求证: BF⊥AD.

例10．已知:如图,在△ABC与△A′B′C′中, AB= A′B′,BC= B′C′,CA=C′A′.
求证: △ABC≌△A′B′C′.

例11. 已知：如图,四边形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.
求证: ∠A=∠D.

O
B
C
D
A

随堂练习：
1、 已知：如图，AC与BD相交于点O，
且AC=BD，AD=BC.
求证：OA=OB.

B
D
E
C
A
2、已知：如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.

例12．已知:如图,D是BC上的一点,BD=CD,
∠1=∠2. 求证: AB=AC.

例13. 已知：如图，在Rt△ABC中, ∠BAC=90°.
D是BC上的一点,AD=AB. 求证: ∠BAD=2∠C.

例14．求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.

已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，AD、A’D’分别是BC、B’C’上的中线，AB=A’B’，BC=B’C’，AD=A’D’.
求证：△ABC≌△A’B’C’.

证明:∵AD、A’D’分别是BC、B’C’上的中线（已知），
∴BD=BC，B’D’=B’C’（三角形中线的定义）.
又∵BC=B’C’(已知),
∴BD=B’D’(等式性质).
在△ABD与△A’B’D’中,

A
D
B
C
E
AB=A’B’(已知)
BD=B’D’(已证),
AD=A’D’(已知),
∴△ABD≌△A’B’D’ (S.S.S).
得∠B∠B′(全等三角形的对应角相等).
在△ABC与△A’B’C’中
AB=A’B’(已知)
∠B=∠B’(已证),
BC=B’C’(已知)
∴△ABC≌△A’B’C’ (S.A.S).

A
B
C
D
课后练习：
1．已知：如图，AD∥BC，点E是DC的中点，
AE平分∠BAD.求证：BE平分∠ABC.

2．已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的
角平分线，BC=AC+AD.求证：∠A=2∠B.

3．求证: 三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等.
已知: 如图,AD是△ABC的中线,CE⊥AD,垂足为E, BF⊥AD, 垂足为F.
求证:CE=BF.

4．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°。
求：（1）、∠A BC的度数
（2）、AD、CD的长.

学习情况

课后作业

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