椭圆、双曲线中的易错疑难.docx

椭圆、双曲线中的易错易混、疑难问题
教材易混易错问题
易错点1：求轨迹方程时忽略动点的限制条件
第1题
1、 已知中，角所对的边分别为，且，成等差数列，，求点的轨迹方程。
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系（如图），
不妨令，设
因为成等差数列，所以，即.
由椭圆的定义得：点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即。所以点的轨迹方程为。
因为，即，所以点只能在轴的左侧，即，
又由于的三顶点不共线，所以点不在轴上，即。
于是所求点的轨迹方程为。
2、已知点和圆，过圆外一点的直线与圆相切与点，且，求动点的轨迹方程。
【解析】如图，为圆的切线,为切点。设。
第2题
则，，
由题意得，所以，
两边平方并整理得，，
再两边平方并整理得，
因为，即。
所以点的轨迹方程为。
【反思】在求动点的轨迹方程时，忽略方程变形的等价性是常见的错误，因此在化简变形过程中，应注意检查每一步是否是等价变形，若扩大了取值范围，则应加以限制。

易错点2：忽略椭圆于双曲线定义中的限制条件
3、若平面内一点到两定点的距离之和为10，则点的轨迹为 （ D）
A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段
【解析】 因为，所以点的轨迹为线段。
(3，4)(4，5)
4、若方程表示椭圆，则实数的取值范围为---------
【解析】由题意可知，解得。
【易错提醒】易错点是没有注意椭圆中a≠b这个条件，当a=b时，方程并不表示椭圆，而是圆。
5、 若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程。
【解析】由题意的.
当时，轨迹是线段的垂直平分线，即方程为；
‚当时，由双曲线的定义可得，轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，故动点的轨迹方程为；
ƒ当时，轨迹是两条射线，其方程为。
【反思】在求解与 椭圆、双曲线有关的轨迹问题时，要养成一种良好的思维习惯；看到动点的到两定点的距离之和或差是常数后，首先判断该常数与两定点间距离的大小关系。
易错点3：求椭圆或双曲线方程时忽略焦点的位置
6、 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，离心率，且过点，求此椭圆的标准方程。
【解析】由题意无法确定焦点的位置在那个轴上，所以分两种情况讨论：
当焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
当焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
综上，所求椭圆的标准方程为或。
7、 已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。
【解析】由题意无法确定焦点的位置在那个轴上，所以分两种情况讨论：
当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由题意得，解得，此时双曲线的标准方程为。
当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
综上，所求椭圆的标准方程为或。
【反思】此类题解错的原因是没有审清题意，而误认为椭圆或双曲线的焦点一定在轴上，从而导致漏解。当题目条件没有明确椭圆或双曲线的焦点所在的轴时，应当分两种情况讨论。

易错点4：忽略椭圆或双曲线的离心率的取值范围
8、如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，延长与交于点，若为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围。
【解析】设椭圆的标准方程为，
第8题
由题意得：，则
由于为向量的夹角，
且若为钝角，所以

又，则，化简得，
解得，因为，所以，
故该椭圆的离心率的取值范围为。
9、 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点，使，求双曲线离心率的取值范围。
【解析】由已知条件知，点不是双曲线的顶点。
在中，由正弦定理得：。
又由已知得：，
于是且点在双曲线的右支上。
由双曲线的定义：，且由双曲线的几何性质，得：，即，解得：。
因为，所以，故双曲线的离心率的取值范围为。
【反思】椭圆、双曲线的离心率的计算公式可知离心率由确定，所以求离心率的值或取值范围时，需要建立关于的方程或不等式，再转化为关于离心率的方程或不等式通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

易错点5：混淆椭圆于双曲线的几何性质
10、 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
（ A ）
A B C D
【解析】由椭圆的离心率为，可得，即，故双曲线的渐近线方程为。
1
11、 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是----------。
【解析】由题意得，，解得。
12、 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的方程为---
【解析】由题意得，。
因为在的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，
又，因此，所以双曲线的方程为。
教材疑难问题
疑难点1：求椭圆、双曲线的离心率
1、 如图，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与的两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（B）
A 4 B C D

【解析】由双曲线的定义，知。
。
为等边三角形，所以，
即，所以，
所以，所以。
在中，由余弦定理，得，
即，所以，所以。
【反思】离心率的求解中可以不求出的值，而是求出的关系从而求得，一般步骤如下：根据已知条件得到的齐次方程；‚化简得到关于的一元二次方程；ƒ求解的值；④根据双曲线的离心率的范围进行取舍。
2、 已知由公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形。若，双曲线离心率的取值范围为，求椭圆离心率的取值范围。
【解析】设椭圆的长半轴长、半焦距长，双曲线的实半轴长、半焦距长，，则，所以，
所以，所以，即。
故椭圆的离心率的取值范围为。
疑难点2：直线与椭圆、双曲线的位置关系
3、 已知直线与双曲线。
（1） 若直线与双曲线没有公共点，求实数的取值范围；
（2） 若直线与双曲线有两个公共点，求实数的取值范围；
（3） 若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的取值范围。
【解析】由，得：
（1） 若直线与双曲线没有公共点，则方程无解。所以，解得，于是实数的取值范围为。
（2） 若直线与双曲线有两个公共点，则方程有两个不等的实数解。
所以，解得，
于是实数的取值范围为。
（3） 若直线与双曲线只有一个公共点，则方程有两个相等的实数解或只有一个实数解。所以，解得，
于是实数的取值范围为。
4、如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，若当直线的斜率为时，。
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请说明你的结论。
【解析】当直线的斜率为时，，此时可设点，
则，所以，代入椭圆方程得，因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以，
（1）所以椭圆的标准方程为
（2）以为直径的圆过定点，证明如下：
设，则，且，即。
因为，所以直线的方程为，所以。
又直线的方程为，所以。
所以以为直径的圆得得方程为，
即，因为，所以。
令，则，解得。所以以为直径的圆过定点。
疑难点3：与向量、圆等知识相结合
5、 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为，圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度分别为 （ A ）
A B C D
【解析】由题意，可得，。
由圆的切线长定理，知。
设内切圆圆心的横坐标为，则，所以，所以。延长交于点，则为等腰三角形，所以，在中，。
6、如图，在平面直角坐标系中，圆内切与正方形，任取圆上一点，若，则满足等式。现有一椭圆内切与矩形，任取椭圆上一点，若，则-------。
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系。
设，则，
于是。由，可得，代入，可。