勾股定理的逆定理(二).doc

18.2 勾股定理的逆定理(二)
教学时间
第六课时
三维目标
一、知识与技能
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．理解逆定理，互递定理的概念．
二、过程与方法
1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．
2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．
三、情感态度与价值观
1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
2．培养学生与人合作、交流的团队意识．
教学重点
勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．
教学难点
互逆定理的概念．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
设计意图：
帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．
师生行为：
由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否熟练地完成填空；
②学生是否积极主动地完成任务．
生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，
能构成直角三角形的是；①④⑥⑦
二、讲授新课
活动2
问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?
设计意图：
由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力
师生行为：
让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．
本活动中，教师应重点关注学生：
　①能否在教师的引导下，理清思路．
②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?
我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?

生：我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c
△ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗?
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗?
生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显示原命题成立，而逆命题不成立．
活动3
练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?
2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(3)全等三角形的对应角相等．
(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
设计意图：
进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
师生行为：
学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注学生．
①学生对勾股定理的逆定理的理解．
②学生对互为逆命题的掌握情况．
②学生面对困难，是否有克服困难的勇气．
师：我们先来完成练习第1题．
生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
生：2．(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．
2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．
(3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．
(4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．
三、巩固提高
活动4
[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

[例2](1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，
即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．
请问：上述解法对吗?为什么?
(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．
求证：AB＝AC．
设计意图：
这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．
师生行为：
先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否进一步理解勾股定理的逆定理，
②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．
③能否从中体验到学习的乐趣。
生：例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
例2：(1)解：上述解法是不对的．因为a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝64＋36＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．
评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和．
(2)证明：根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．

AD是BC边上的中线→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB2＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169．所以AB2＝AD2＋BD2．则∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝122＋52＝132．
所以AC＝AB＝13cm．
四；课时小结
活动5
问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗?
在活动5，教师应重点关注学生：
①不同层次的学生对本节知识的认识程度．
②学生再谈收获是对不同方面的感受．
③学生独立面对困难和克服困难的能力，
板书设计
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18.2 勾股定理的逆定理(二)
勾股定理的逆定理的证明
构造Rt△A'B'C'，使两直角边为a，b，∠C'＝90°，从而得斜边A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC为直角三角形．
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活动与探究
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．
(1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；
(2)请你证明你所发现的规律．
过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“( )2＋( )2＝( )2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝(22－1)2，82＝(32－1)2，152＝(42－1)2，242＝(52－1)2；所以我们可推想，第—项一定是(n2－1)2．(其n＞1，n为整数)，同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2＋1)2(其中n＞1，n为整数)．
(1)解：上面的式于是有规律的，即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2(n为大于1的整数)．
第5个式子是n＝6时，即(62－1)2＋(2×6)2＝(62＋1)2化简，得352＋122＝372．
(2)证明：左边＝(n2－1)2＋(2n)2＝(n4－2n2＋1)＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝右边，证毕．