三角函数与解三角形专题讲座.doc

三角函数与解三角形
一、角的有关概念
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝rad；②1 rad＝
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3．象限角与轴线角的表示：
（1）象限角的表示：
①第一象限角的表示： ；
②第二象限角的表示： ；
③第三象限角的表示： ；
④第四象限角的表示： 。
（2）象限角的表示：
① 终边落x轴非负半轴上的角的表示： ；
② 终边落x轴非正半轴上的角的表示： ；
③ 终边落x轴上的角的表示： ；
④ 终边落y轴非负半轴上的角的表示： ；
⑤ 终边落y轴非正半轴上的角的表示： ；
⑥ 终边落y轴上的角的表示： ；
⑦ 终边落在坐标轴上的角的表示： 。

二任意角的三角函数
1．单位圆中任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫作α的正弦函数，
记作sin α＝y
x叫作α的余弦函数，
记作cos α＝x
叫作α的正切函数，
记作tan α＝
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线　

注：1．三角函数的定义中，当角α终边上的点P(x，y)是单位圆上的点时，有sin α＝y，
cos α＝x， tan α＝，但若角α终边上的点P(x，y)不是单位圆上的点时，
图中圆的半径为r=OP= ，则sin α＝，cos α＝，tan α＝。
2．已知三角函数值的符号确定角的终边位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
3．在解简单的三角方程或三角不等式时，单位圆中的三角函数线是一个很好的工具．
2．三角公式
（1）．同角三角函数的基本关系
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
②商数关系：tan α＝．
注：1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
3．弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
4．和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
（2）．三角函数的诱导公式
①把α＋2kπ(k∈Z)、 πα、－α的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则是“函数名不变，符号看象限”；
②把 、的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则是“函数名改变，符号看象限”；
③一般的把的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则是“奇变偶不变，符号看象限”
（3）．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；
tan(α±β)＝ .
（4）．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcosα．
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
tan2α＝.
（5）．有关公式的逆用、变形
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
②cos2α＝，sin2α＝.
③1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
（6）．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为
f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
注：三角恒等变换的常用方法与技巧
1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，角的变换是三角恒
等变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝2×， 等，
这种手法通常叫“配凑”．
2．变名：通过变换尽可能减少函数种类、降低次数、减少项数，其手法通常有“切化
弦”、“升幂与降幂”等．
3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目
标，其手法通常有：“常值代换”（如1根据需要可换成 、 ，根
据需要可换成 或 等）、“逆用或变形用公式”、“通分与约分”、“分解与
组合”、“配方与平方”等．
3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
R
R

值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
(k∈Z)
[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)
(k∈Z)
递减区间
(k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)

无
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
无
最值
当 时
取最大值1
当时
取最小值-1
当 时
取最大值1
当时
取最小值-1
无
4．函数 的图象与性质
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈表示一个振动量时，A叫做振幅，
T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
(2)函数 图象的“五点法”作图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点（平衡
位置点），作图的一般步骤为：
①定点：如下表所示（由ωx＋φ的取值分别确定相应的x与y）
x
－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
②作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图象．
③扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
←→
向左（右）平移 |φ|个单位长度　　　　横坐标变为原来的倍
←→
　横坐标变为原来的倍　　 向左（右）平移||个单位长度
←→
纵坐标变为原来的A倍　　　　 纵坐标变为原来的A倍
←→

(4)由图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)+B(A>0，ω>0)的一般步骤：
①一般由函数的最值确定A、B的值，即 ， ；
②由函数的周期来确定ω的值，即 ；
③由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于φ的方程，再由φ的范围得φ的值，
也可以由起始点的横坐标得φ的值，若利用图象与 的交点即平衡位置点的坐
标列方程解φ时，要注意这个点所在区间的单调性，以排除不符合条件的解。
(5)求函数y＝Asin(ωx＋φ) +B的单调区间、最值对称轴、对称中心等问题时要注意
整体思想的运用，这里主要是将ωx＋φ看成整体，对照y＝sin x的相应性质分析完成。
三、解三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝（＝2R），
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形形式
(边角转化)
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

注：当已知两边及其中一边的对角时，运用正弦定理解三角形的可能情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin Ab
解的个数
一解
两解
一解
一解

2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C＝ (R表示△ABC外接圆的半径)；
(3) S＝(r表示△ABC内切圆的半径) ；
(4)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
3.三角形中常用的性质
(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔ ;
(2) , ；
(3) ，。
2016年高考数学文试题分类汇编
三角函数
一、选择题
1、（2016年全国I卷高考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
（A）（B）（C）2（D）3
2、（2016年全国I卷高考）将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为
（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)
3、（2016年全国II卷高考）函数的部分图像如图所示，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）

4、（2016年全国II卷高考）函数的最大值为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
5、（2016年全国III卷高考）若 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、（2016年全国III卷高考）在中，，BC边上的高等于,则
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
7、（2016年全国I卷高考）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tanθ–)= .
8、（2016年全国II卷高考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.[
9、（2016年全国III卷高考）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
2015年全国高考数学文科试题汇编
三角函数与解三角形
1.【2015高考安徽，文12】在中，，，，则 .
2.【2015高考安徽，文16】已知函数
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
3.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知分别是内角的对边
（I）若，求 （II）若，且 求的面积.
2014年全国高考数学文科试题汇编
三角函数
选择填空题
1.[2014·全国新课标卷Ⅰ2] 若tan α＞0，则(　　)
A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
2. [2014·全国卷2] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
3.[2014·全国新课标卷Ⅰ7] 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
4.[2014·安徽卷7] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
5．[2014·新课标全国卷Ⅱ14] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcos x的最大值为________．
6．[2014·全国卷14] 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
7．[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．

2013年高考文科数学试题分类汇编
三角函数

一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文2））已知是第二象限角,
A． B． C． D．
2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文9））函数在的图像大致为

3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文4））的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．（2013年高考大纲卷（文9））若函数
A． B． C． D．

6．（2013年高考安徽（文））设的内角所对边的长分别为,若,则角=（　 ）
A． B． C． D．
7．（2013年高考课标Ⅰ卷（文10））已知锐角的内角的对边分别为,,,,则 （ 　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2013年高考课标Ⅱ卷（文16））函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则___________.
9．（2013年高考课标Ⅰ卷（文16））设当时,函数取得最大值,则______.;
三、解答题
10．（2013年高考大纲卷（文））设的内角的对边分别为,.
(I)求；II)若,求。

11．（2013年高考安徽（文））设函数.
(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合；
(Ⅱ)不画图,说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到。

12、（2016年北京高考）已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

13.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数．
（I）求的最小正周期；（II）求在区间上的最小值．

14.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知．
（1）求的值；（2）求的值．

15．（2013年高考山东卷（文））设函数,且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。