1、二次函数与几何图形的综合题
类型1 探究图形面积的数量关系及最值问题
1、如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A(－1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，并且直线L过B、C两点，连接AC.
(1)求抛物线解析式与直线L的解析式；
(2)求证：△ABC为直角三角形；
(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．
2、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛
2、物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型2 探究线段的数量关系及最值问题
3、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和B(3，0)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为L.
(1)求抛物线解析
3、式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x14、的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
5、如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB＝1.
(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；
(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标
5、
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型4 探究特殊四边形的存在性问题
6、如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6、
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，－)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧．
(1)求a的值及点A，B的坐标；
(2)当直线L将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线L的函数解析式；
(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
类型5 探究三角形相似问题
7、
8、已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求∠POC的正切值；
(3)若点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．
9、如图，二次函数y＝－ax2－4ax－的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线y＝kx＋3k(k＜－)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.
(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；
(2)过点B作BD⊥AC交AC于点D，若M(0，－3)且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标．
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