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概念教学中的探究性学习
——《因数和倍数》教学案例与反思

雍熙三小 陈光琴

“因数和倍数”这节内容，传统教材是按数学知识的逻辑系统，在除法和整除的基础上，由整除直接演绎推理出来的。这种概念的揭示从抽象到抽象，没有学生经历的过程，学生获得的概念是刻板的、冰冷的。而现行的新教材是让学生通过摆正方形这一实践操作活动，自主体验数与形的结合以及其中的“因倍关系”，进而生成因数和倍数的意义。这种意义的建构是基于学生原有经验之上的，是学生自主操作、积极思考的结果。《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。可见小学生学习数学是与探究性实践活动分不开的，重视动手操作，是发展学生思维,培养学生数学能力和创新精神最有效的途径之一。
“因数和倍数”属于数论的基础知识，是典型的概念教学。概念教学的关键是让学生了解概念的内涵和外延。概念形成的关键是让学生在已有知识基础和生活经验之上寻找概念的生长点。那么,如何在新课程教学中有效地进行概念教学,帮助学生了解概念的由来, 理解概念的本质特征, 结合概念教学培养学生归纳和概括能力,让学生在生活或数学知识应用中内化概念呢?，下面结合“因数与倍数”的教学与反思谈谈自己的看法。
一、引入概念
师：每个同学都有学号吧？（任意请出两个同学，指其中一个。）请你用一句话说说你俩的学号之间的关系。
生：我是18号，他是3号，我是他的3倍。
生：我是7号，他是2号，我比他大5。
……
师:今天我们就进一步来研究同学们的学号，有兴趣吗？
生：有
（反思：捕捉生活与数学之间的联系，利用学生生活中的事物，唤起学生已有的知识经验，激发学生的学习兴趣，为学习新知做准备）
二、感知概念
师：在每个小组的桌上，有12个同样大小的正方形，请同学们用12个正方形拼成一个长方形，并用算式表示出来。看哪一组拼得最好、最多。
生1：我每排摆6个，摆了2排。算式是6×2＝12。
生2：我每排摆4个，摆了3排。算式是4×3＝12。
生3：我每排摆3个，摆了4排。算式是3×4＝12。
生4：我每排摆12个，摆了1排。算式是12×1＝12。
生5：我觉得也可以写成12÷2=6,12÷3=4 ……
师：还有其他摆法吗？
生：每排摆5个，摆……
另外的学生反驳：不行，这样摆得不到长方形，因为没有那一个自然数与5相乘得到12。
刚才的学生不好意思坐下了。
师：出示4×3＝12。在这样的算式中，我们可以说12是4的倍数，4是12的因数，3也是12的因数。
请你学着说一说，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
生：6是12的因数，2也是12的因数。12是6的倍数。

（反思：数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。数形结合是数学的重要思想，数的认识对于学生来说比较抽象，先建构“形”的概念，再构建数的概念就要容易得多。在教学时充分利用、挖掘教材，让学生用12个小正方形摆长方形，然后自己用算式把摆法表示出来。学生在这一系列自主操作、想象思考中，充分体验数与形的结合。概念的揭示突破了从抽象到抽象，从数学到数学。让学生自主体验，进而建构因数与倍数的意义。）
师：从3、6、12中选出两个数，说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？
生：3是6的因数，6是3的倍数。
……
师：能单独说谁是因数，谁是倍数吗？（交流讨论一下）
生：不能，因为一个数有时是另一个数的因数，有时又是其他数的倍数。
师：能举个例子说明吗？
生1：比如：6既是3的倍数，又是12的因数。
生2：因数和倍数是相互依存的，不能单独说。
（反思：这是学生初学时最爱犯的错误，这里，我不是简单的强调，而是搭建交流平台，让学生在思维的碰撞中，去发现，去反思。波利亚曾说，学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、联系。这就是自主学习，在自主学习中，更多的是靠孩子的觉悟和反思，当一个人只有觉醒了，才能真正的自主，而反思是一种重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力，概念教学更需要反思，学生在教师创设的情境中活动、体验，有所发现，这过程往往更多的是凭直觉。学生还需要冷静下来，对自己的判断、发现、进行思考、体验并加以证实。要给学生的反思以充足的时空，自主学习。）
三、深化概念
师：你知道哪些是3的倍数吗？
生：3的倍数有6、18、15
生：3的倍数有3、6、9、12、15、18……
师：你是怎样找到3的倍数的？为什么能一口气说出这么多？
生1：我是根据乘法口诀来找。一三得三，二三得六……
生2：老师，听他一说，触发了我的灵感，我认为：要找一个数的倍数，只需将这个数分别与1、2、3这样的自然数相乘。（全班学生笑并鼓掌）
师：这个方法好吗？为了方便，我们在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数
大家能用这个方法再找找2和4的倍数吗？（学生完成后反馈）
师：36的因数可以怎么找呢？怎样才能做到不重复和遗漏？小组合作研究一下。比比哪一小组的方法最好。（师参与小组讨论）
第一组：36的因数有：1、6、9、12、3
第二组：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12
第三组：36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6……
师：那一组的方法最好？
生：第二组，因为第二组从1开始找，不容易遗漏。
生：第三组，他们的方法是一对一对的找，这样找到一个就可以得到另一个，找到两数都比较接近的时候就可以不找了，这样既节约了时间，又能做到不重复和遗漏。（全班学生鼓掌）
(反思师生共同参与探究，激发了学生求知欲望。将新课的内容有计划、有层次，由浅入深地展示给学生，并让学生参与新概念的建构过程，促使学生对新概念加以理解和掌握。同时，在教学过程中有意识地结合教学内容向学生显示“怎样思考”的信息，培养学生思维的有序性，提高其思维能力)
四、内化概念
师：请同学们仔细观察3的倍数和2的倍数，你有什么发现？（讨论，交流）
生1：一个数的倍数有很多个……
生2: 3的倍数按顺序每个之间相差3
生3：最小的倍数是它本身
师：刚才几个同学都说得非常好，俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。根据三个同学的说法，谁能说得更完整一些。
生4：我想把他们说的总结起来就是：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身
师：请观察36的因数和16的因数，你有什么发现？
生：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身
（反思：引导学生归纳概括，初步完成新概念的“内化”过程后，教师引导学生自己总结方法、规律，培养学生的抽象概括能力，同时也检验学生是否真正理解和掌握了本质规律，从而将对新概念的感性的认识真正提高到理性认识）
五、巩固概念
师：今天同学们的表现很精彩，下面进入游戏环节，请同学们用自己的学号出谜语给大家猜，要求必须要用到今天所学的知识。
生：我是8的倍数，又是8的因数，我是几号？
……
师：给自己的学号找因数。
（反思：数学来源于生活，更应用于生活。猜谜语环节激发了学生参与的积极性，学生兴趣盎然。让学生给自己的学号找因数，既巩固了新知，又让学生把所学的知识应用与生活，感受到数学的价值）
六、延伸概念
要求学生课后思考：一个数越大，它的因数越多吗？
下课后要求：学号有两个以上因数的同学先走出教室，然后学号只有1和它本身两个因数的同学再走，学号只有一个因数的同学留在教室里。
（反思：留给学生思考的空间，不仅让优生吃得饱，而且吃得好，由于这一单元概念较多，学生容易混淆，所以让学生按因数分类走，课内延伸到课外，为素数和合数的教学作铺垫）
这节课从概念形成的本质出发，在遵循学生认知规律的基础上展开教学。在学习材料的选择上别具匠心，突现数学事实和数学问题，使材料能直奔主题。整节课，紧紧围绕“因数和倍数”这个知识技能领域的核心目标，通过操作、感悟、体验的探究性学习方式，以直观、感性的材料作支撑，很好的建构了因数和倍数的数学概念。学生在自主探究与合作交流中做数学，知识、技能、情感三维目标和谐发展。