1、专题三】转化与化归思想
【专题训练】
一、填空题
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
2．函数f(x)＝＋的值域为________．
3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn＝________.
4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于________．
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为____________．
6．若二次函数f(x)＝4x
2、2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为____________．
7．（2012嘉兴中学模拟）已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.
8．已知函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，若f(x)≤2恒成立，则a＋b的最大值为________．
9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是____________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－
3、4成等比数列，则的值为________．
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．
12．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2 012)＝________.
二、解答题
13．（2012泰州中学模拟）设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．
14.已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若
4、A∩R－≠，求实数m的取值范围(R－表示负实数集)．
15．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．5 2.[1，] 3.na 4.
5．3≤a≤4 6. 7．－30 8.
9．(0，) 10. 11．4 12．2 012
13．解 ∵f(x)在R
5、上是增函数，
∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)
可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．
∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，
解之，得x≥0或x≤－1.
故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.
14．解 设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}＝.
方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是
可得m≥.
∴A∩R－＝时，实数m的取值范围为.
∴A∩R－≠时，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
15．解 因为f(x
6、)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.
由题设条件可得，
f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0.
又由f(x)为奇函数，可得f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)．
∵f(x)在R上为增函数，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
令cos θ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.
于是问题转化为对一切0≤t≤1，
不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．
∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，
∴m>4－2，
∴存在实数m满足题设的条件，且m>4－2.
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