对面积的曲面积分.pptx

一、概念的引入一、概念的引入实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想,采用采用可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”的方法的方法,其中其中,表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).二、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的概念与性质1.1.定义定义注意：注意：1.若曲面是闭曲面，记为若曲面是闭曲面，记为 2.被积函数被积函数 在曲面在曲面 上是一上是一 个二元函数；个二元函数；3.曲面的面积：曲面的面积：线性性质线性性质.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续,积分的存在性积分的存在性.对积分域的可加性对积分域的可加性.则有则有若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面 对称性对称性.见见BOOK P454三、对面积的曲面积分的计算法三、对面积的曲面积分的计算法则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：注意：为什么要求投影必须无重影呢？注意：为什么要求投影必须无重影呢？则则则则例例1 1解解例例2.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解:例例3.计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 解解概括为概括为：投：投：将积分曲面投影到适当的坐标面上将积分曲面投影到适当的坐标面上(如如xoy 面面)（要求无重影）（要求无重影）一投、二代、三换一投、二代、三换 对面积的曲面积分计算法小结对面积的曲面积分计算法小结代：代：将曲面的方程表示为二元显函将曲面的方程表示为二元显函 数，如数，如 然后代入被积函数，将其化成二元函数然后代入被积函数，将其化成二元函数换：换：将曲面的微元换成投影面上的面积微元形式，如将曲面的微元换成投影面上的面积微元形式，如解解依对称性知：依对称性知：练习：练习：解解（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）例例6.已知曲面壳已知曲面壳求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M.解解:在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 故故解解:例例8.计算计算其中其中 是球面是球面利用对称性可知利用对称性可知解解:显然球心为显然球心为半径为半径为利用重心公式利用重心公式内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)1.设一卦限中的部分,则有().(2000 考研)思考与练习思考与练习2.设 是四面体面,计算解解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域要熟记要熟记