曹静彧观摩课、示范课教学设计示（二）.doc

贵州省高中物理杨永忠名师工作室观摩课、示范课
教学设计方案

学校：毕节市民族中学 设计者：曹静彧
主题、单元
或课的名称
人教A版高中数学复习：三角函数的图像与性质
学科
高中数学
年级
高三
班
4班
教学目标
知识与技能
考纲要求
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．
4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
过程与方法
1、掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
2、掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
情感态度与价值观
1、让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神
2、激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
学习者特征分析
考情分析
从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的平移和伸缩变换，以及根据图像确定A，ω，φ的问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．
预测2016年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性以及三角函数图像的变换为主要考点．
学习者
特征分析
1、学习者为高三年级的学生，对数学有一定的基础，能够学习较深层次的数学知识。
2、同时高考对数学有较高的要求，学生不得不认真学习数学知识。
学习动机
分析
学生学习的目的是为了高考，同时也是了解数学知识在现实生活中的应用。
学习风格
分析
经过三年的培养，学生具备了扎实的数学基础，对高强度的教学已适应，学习已有自己独特的方法。
教学
内容
教材分析
本节是高中教材的必修内容， 高考对这部分知识考察密度比较大，基本上是年年必考，分值大致在10—17分之间。试题难度0.7左右，属于容易题，只要学生记住相关公式与性质就可轻松搞定。
对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.

知识结构图

教学重难点：
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
信息化教学媒体和资源的选择和运用：
PPT课件，微视频（三角函数的图像与性质）

教学准备：
1．师准备：根据学生情况，拟写教学设计，制作课件，上网查找资料；
2．学生准备：课前预习，了解生活中三角函数图像与性质的应用。
3.分析学生学情，预测学生学习中会遇到的困难，做好相应的解决策略。
教学过程（活动）
教学环节
教学内容
师生活动及意图
1.课前热身
1、若cosx>-（0≤x≤2π），则x的范围是___________
2、如图为y=Asin(ωx+)的图象的一段，则其解析式为_____________
3、将函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则f(x)=__ _________
4、函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足1而知新，在复习中加深对新知识的理解。
学生分组讨论研究，总结交流成果．一方面分组合作探究，展示动手结果，上黑板板演，同时回答同学们提出的问题．
2.知识点梳理
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.三角函数的单调区间
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是，
的递增区间是，
3.函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象.

5. 由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.
6.对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
7. 求三角函数的单调区间
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8. 求三角函数的周期的常用方法
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图
五点取法是设x=ωx由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.
掌握正弦函数的图像及五个点的坐标；掌握余弦函数的图像及五个点的坐标
先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导.
在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.
提升学生作图能力，分析能力和解决问题的能力，进行数形结合思想和类比思想的渗透．

强化知识点记忆，理解知识脉络。

求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．

3.典型例题讲解
考点一 三角函数的定义域、值域问题
一、求三角函数的定义域和值域
【例1】求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x.
方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：
(1)利用sin x，cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
二、 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例2】设函数f(x)＝cos ωx(sin ωx＋cos ωx)，其中0＜ω＜2.
(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时，f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图像的一条对称轴为x＝，求ω的值，并求f(x)在哪个区间上是减少的．
方法提炼1．求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)利用图像．
2．三角函数的对称性：
正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
3．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)＋k和y＝Atan(ωx＋φ)＋k的单调区间类似．
【备考策略】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
考点三　三角函数y＝Asinωx＋φ)的图像
【例3】设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在一个周期上的图像；
(3)说明函数f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
方法提炼1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点．
2．图像变换法
(1)平移变换
①沿x轴平移，按“左加右减”法则；
②沿y轴平移，按“上加下减”法则．
(2)伸缩变换
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)．
【备考策略】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
四、求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式
【例4－1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像的一部分如图所示：

(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
【例4－2】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
方法提炼确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

学生先做，老师根据学生掌握的情况给予解惑，答疑。
让学生在练的过程中掌握知识点、考点。
通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.

教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.
学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.

4.练习巩固
1．函数y＝sin的图象的一条对称轴的方程是(　　)
A．x＝0　　　　　　　　　 B．x＝
C．x＝π D．x＝2π
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为(　　)
A．T＝6，＝ B．T＝6，＝
C．T＝6π，＝ D．T＝6π，＝
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
5．函数y＝Asin(ωx＋)(A，ω，为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.
5.课后拓展
A组全员必做题
1. 若函数，（其中，），的最小正周期是，且，则（ ）
A． B. C． D．
2. 上递增，那么 ( )
A． B． C． D．
3. 如果函数的图象关于直线对称，则 ．
4．已知，则　　　　　．
5. 已知函数，在下列四个命题中：
①的最小正周期是；
②的图象可由的图象向右平移个单位得到；
③若，且，则；
④直线是函数图象的一条对称轴，
其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．
B组提高选做题
设函数.
（1）若的周期为，求当的值域；
（2）若函数图象的一条对称轴为求的值.
学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.
不同学生设置 不同层次的题目，有针对性地加强学生能力的提升。
6.反思体会评价.
通过本节课的学习，你有什么收获或体会？
学生分成小组，通过讨论后分组进行汇报。
7.布置作业
1、已知向量, 设函数.
(1) 求f (x)的最小正周期.
(2) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【变式1】（2013年高考辽宁卷）设向量
(1)若 (2)设函数
2、设,其中
(1)求函数 的值域；
(2)若在区间上为增函数,求的最大值.
【变式2】（2012年高考陕西卷）函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值.
学生课外体验，让知识得以延伸与巩固。
8.课堂小结
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
4.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
5.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.

板书设计：
三角函数的图像及其性质
1．三角函数的概念
2. 三角函数的图象和性质

例题：

学生展示作图成果

课后实践

课后反思：设计感想
1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.
2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.
3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.
4.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
5.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.
6.学习三角函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.