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线性规划与企业利润
摘要：本文介绍了线性规划的有关理论，如它在企业管理中的应用范围和实现方法及线性规划的基本理论。然后通过具体实例证明线性规划在企业管理中的适用性，其目的是使企业利润达到最优化。
关键词：线性规划模型；约束条件；目标函数；最优化
1 引言
随着改革开放的不断深入和WTO的加入，市场竞争将愈发激烈，如何在竞争中求生存、求发展，已是刻不容缓、亟待解决的问题，也是每个企业必须面对的问题。各企业为了能保持自己在经济社会中的地位，也就是要实现企业价值最大化。要达到这目标，靠主观臆断，随意盲目决策是绝对不能奏效的。采用科学的管理方法和优化的决策是没一个从事经济活动者的成功之路。线性规划是企业经营者达到利润最优化的有利的决策手段。

2 线性规划在企业管理中的应用范围及原因
2．1线性规划在企业管理中的应用范围
线性规划探讨的问题是在由所提出问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案。而企业的效益依赖于资源配置的优化，即依赖于线性规划模型的优化。优化的范围越大，效果也就越好。
首先，线性规划可用于生产计划确定后的优化，内容包括：其一，在一定的资金和风险条件下，确定最佳库存量，使生产保持连续性和资金占用最小。其二，在生产计划、生产设备、生产能力的条件限制下，在各种产品、原材料、零部件的价格、生产人员的约束条件下求得产品的最大利益。其三，在运输分配计划中，计算路径、数量、人员的最佳效率和最佳费用。其四，在原材料具有混合比例的限制下，求得价格、成本最低，利益最大。其五，各类投资问题：一定的资金总额，利率与回收期不同的项目之间，如何投放使用，才能使经济效益最好。
其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济走势、分析未来的消费趋势并预测同行的产销动向，然后确定自己的产品价格、广告与促销策略，然后再将这些数据进行线性规划，这是求解一个随机线性规划问题。此类问题有待于进一步探讨。
2．2线性规划在企业管理中应用的原因
线性规划方法被广泛地应用在企业管理中有三个主要原因：
（1）在企业管理中有大量的问题可以用线性规划模型表示或至少可以用线性规划近似表示。
（2）存在可用的求解线性规划问题的有效方法。
（3）通过线性规划模型，利用灵敏度分析（Sensitivity Analysis）易于处理数据的变化问题。

3 线性规划的基本理论
线性规划的实质是从很多变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式或条件，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）。线性规划问题的数学依据为：
（1）每一个问题都用一组未知数（）（称为决策变量）表示某一方案，这组未知数的一组定值代表一具体方案，通常要求这些未知数取值是非负的；
（2）存在一定的限制条件（称为约束条件），这些限制条件可以用一组线性等式或不等式来表达；
（3）都有一个目标要求，并且这个目标可以表示一组未知数的线性函数（称为目标函数），根据问题的不同要求函数最大化，或者最小化。
从而建立了线性规划的数学模型：
目标函数： MAX (MIN) Z =
满足约束条件：

其中，决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
决策变量是指决策问题需要控制的因素。例如，要考虑怎样确定不同产品繁荣产量才能获得最大收益的问题，不同产品的产量可设为就是决策变量。变量的多少，取决于决策问题的要求，一般地说，决策变量越多，越能反映实际问题，但求解也就越复杂。
约束条件是指实际目标的限制条件，限制条件是多种多样的，例如确定不同产品的产量时，会受到劳动力、设备能力、原材料等的限制。因此要充分考虑约束条件，在满足约束条件下实现决策目标。约束条件有“”，“”，“”三种类型。约束条件越多，考虑问题越周到。
目标函数是指把决策的目标用变量之间的函数关系式表示出来。目标函数有最大值和最小值两种形式。如果设目标函数为Z，则求MAX Z和MIN Z。最大值和最小值统称为最优值。
就目前的技巧状况而论，用来求解线性规划最优解的数学方法常常是单纯形法。这个方法是1947年由乔治·单捷格（Geoge·Dantzig）创造的。但用此方法解决一类变量有几十个甚至上百个的问题时会很繁杂，计算起来步骤也很多。现代的电子计算机，一般都有用单纯形法解线性规划的形成程序，用电子计算机很快算出决策变量的最优组合以及目标函数的最优值及系统中闲置量或其他项目的值。还可以分析所得结果，得出每个项目变化一个单位的影响值（即潜在价值）以及潜在价值的有效范围。此外，还能得出目标函数的价值幅度，在此幅度内所得的解是有效的。

4 线性规划方法在企业管理中的应用
企业在管理中有这么多的问题均可以简化为线性规划问题，故可以根据线性规划的数学模型的方法，求出该问题的最优方案，为企业提高经济效益的有效途径指明。下面以具体例子来说明线性规划在企业管理中的应用。
4．1线性规划在产品生产安排中的作用
在市场经济情况下，企业应当根据预测市场的需求量及各项生产约束条件来编制企业生产计划，确定应生产的品种数量并获得更大的利润。这里就以一实例来说明如何用线性规划的方法来解决生产计划的问题。
设某工厂有甲、乙、丙、丁四种机床，生产A、B、C、D、E、F六种产品，假定每种产品要经过机床加工，如产品A要经过甲、乙两种机床加工等，根据机床性能和以前的生产情况，知道制造每一单位产品机床所需工作时数，每台机床最大工作能力及每种产品的单价如下表（表1）所示，则在机床能力许可的条件下，每种产品各应生产多少才能使这个工厂的生产总值达到最大。
表1
产品
工作小时

机床

A

B

C

D

E

F

甲
0.01
0.01
0.01
0.03
0.03
0.03
850
乙
0.02

0.05

700
丙

0.02

0.05

100
丁

0.03

0.08
900
单价（元）
0.40
0.28
0.32
0.72
0.64
0.6

4．1．1建立数学模型：
(1)约束条件：设用分别表示生产A、B、……、F六种产品的件数，Z为生产总值。则须满足约束条件：

(2)目标函数:
MAX Z =

4．1．2求解数学模型：
通过软件LINDO6.1的运用（运行程序见附录1—1），得运算结果（只列出需要的结果，运行结果见附录1—2）如下所示：

即此工厂的最好方案是：生产B种产品5000件，生产C种产品30000件，生产D种产品14000件，而完全不生产A、E、F三种产品，这时该工厂的最大生产总值为21080元，也就是达到了利润的最优化。
4．1．3模型讨论和扩展：
上面这个方案告诉我们应该如何安排生产，才能在设备条件许可情况下使生产总值达到最大。但有时为了满足国家计划或消费者的需要,必须优先生产一些产品而不问其产值的大小，这时就必须把所得最好方案改变一下。
例如1：从结果可知道这个问题的最好方案是根本不去生产A、E、F三种产品，现在如果厂方根据国家需要必须生产E种产品1000件，这时厂方应如何安排生产计划，以适应这个新的情况，仍然要使生产总值（相对来说）为最大呢？
解决这个问题就在原来模型的基础上稍做修改（增加约束条件即可），最后求出（运行程序及结果见附录2—1、2—2）：

即此时，工厂的最好方案是：生产B种产品2500件，生产C种产品30000件，生产D种产品14000件，生产E种产品1000件，而完全不生产A、F两种产品，这时该工厂的最大生产总值为21020元，也就是在此种情况下达到了利润的最优化。
例如2：现在如果厂方根据国家需要生产A种产品不大于3000件而不少于2800件，这时厂方应如何安排生产计划，以适应这个新的情况，仍然要使生产总值（相对来说）为最大呢？
解决这个问题就在原来模型的基础上稍做修改（增加约束条件即可），最后求出（运行程序及结果见附录3—1、3—2）：

即此时，工厂的最好方案是：生产A种产品2800件，生产B种产品5000件，生产C种产品30000件，生产D种产品12880件，而完全不生产E、F两种产品，这时该工厂的最大生产总值为20385.6元，也就是在此种情况下达到了利润的最优化。
类似的还可以做出很多方案，在实际工作中，可以参考其它条件，选择其中方案之一进行生产。
4．2线性规划在运输问题上的作用
在现代的生产经营、商品销售、经济建设、和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种消耗品（生产资料消耗品、生活资料消耗品）从供给地（或称生产基地）调运到需求基地（或称消耗基地），这里就有一个根据线性规划的方法如何安排调运方案，提高运输经济效益的问题。
某石油公司设有四个炼油厂，它们生产普通汽油的情况如表2，这些炼油厂为七个销售区服务，其需求量如表3，从炼油厂到销售区每加仑汽油的平均运费如表4所示。如何调拨，使利润最大。
表2
炼油厂
日产量/加仑
每加仑生产费用
1
350000
0.15
2
250000
0.12
3
150000
0.13
4
400000
0.14

表3
销售区
每日最大销售量/加仑
每加仑批发价格
1
250000
0.25
2
300000
0.23
3
150000
0.21
4
350000
0.24
5
100000
0.20
6
200000
0.22
7
150000
0.23

表4
炼油厂

销售区
1
2
3
4
5
6
7
1
0.06
0.05
0.02
0.06
0.03
0.06
0.03
2
0.03
0.07
0.05
0.08
0.06
0.09
0.02
3
0.04
0.08
0.06
0.05
0.05
0.08
0.05
4
0.07
0.04
0.04
0.07
0.04
0.07
0.04
4．2．1建立数学模型：
（1）符号约定：
为炼油厂，并定义1、2、3、4炼油厂分别为1、2、3、4；
为销售区，并定义1、2、……、7销售区分别为1、2、……、7；
（=1、2、3、4； =1、2、……、7）表示由炼油厂运往销售区的汽油加仑数量；
为四个炼油厂的汽油生产总费用，即成本支出；
为七个销售区每日的总收入，即销售盈利；
为从四个炼油厂运输到七个销售区的总费用，即运输费。
为了方便目标函数的建立和约束条件的确立，详细表明了符号约定，列表5
如下：
表5
销售区

炼油厂

1

2

3
4

5

6

7
日产量/加仑
1

350000
2

250000
3

150000
4

400000
销售量/加仑
250000
300000
150000
350000
100000
200000
150000

（2）约束条件：

（3）目标函数的确定：
此问题的最终目标是求得利润的最大，设其最后的利润为Z，利润=销售盈利-运输费-成本支出。这里也就要求安排最合理的运油量，尽可能地增加销售盈利，减少运输费用。
i）销售盈利：

ii）运输费：

iii）成本支出：
元,
最终目标函数为 MAX Z =
4．2．2求解数学模型：
通过软件LINDO6.1的运用（运行程序见附录4—1），得运算结果（只列出需要的结果，运行结果见附录4—2）如下所示：

为使结果看得清楚，列表6如下：
表6 汽油调拨方案
销售区

炼油厂

1

2

3

4

5

6

7
1
0
0
150000
150000
0
0
50000
2
25000
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
150000
0
0
0
4
0
300000
0
0
0
0
100000
也就是从炼油厂1运150000加仑的汽油到销售区3，炼油厂1运150000加仑的汽油到销售区4，炼油厂1运50000加仑的汽油到销售区7，炼油厂2运25000加仑的汽油到销售区1，炼油厂3运150000加仑的汽油到销售区4，炼油厂4运300000加仑的汽油到销售区2，炼油厂4运100000加仑的汽油到销售区7；除此些以外，各炼油厂就没有往其它的销售区运汽油，其中销售区56根本就没有销售汽油。用软件运行的程序是除去成本支出后的目标函数，就是说，运行结果中的最优解要减去成本支出158000元，才是该炼油厂达到的最大利润。此时，炼油厂的利润为228000-158000=70000元。
4．2．3模型讨论和扩展：
上面这个方案告诉我们应该如何调拨汽油，才能在销售区的销售量、销售价格和运输费用的限制情况下使利润达到最大。但有时为了满足炼油厂的计划和消费者的需要,必须优先满足一些销售区而不问其运输费和销售价格的大小，这时就必须把所得最好方案改变一下。
例如：这个模型的最好方案是根本不运汽油到销售区5、6，现在如果销售区5、6的消费者对汽油有需要，而且不考虑运输费用。假设要求炼油厂2运7000加仑的汽油到销售区5、炼油厂3运5000加仑的汽油到销售区6，这时厂方应如何安排汽油的调拨，以适应这个新的情况，仍然要使利润（相对来说）为最大呢？
解决这个问题就在原来模型的基础上稍做修改（增加约束条件），最后求出（运行程序及结果见附录5—1、5—2）：

也就是从炼油厂1运150000加仑的汽油到销售区3，炼油厂1运150000加仑的汽油到销售区4，炼油厂1运5000加仑的汽油到销售区7，炼油厂2运24300加仑的汽油到销售区1，炼油厂2运7000加仑的汽油到销售区5，炼油厂3运7000加仑的汽油到销售区1，炼油厂3运138000加仑的汽油到销售区4，炼油厂3运5000加仑的汽油到销售区6，炼油厂4运300000加仑的汽油到销售区2，炼油厂4运100000加仑的汽油到销售区7。除此些以外，各炼油厂就没有往其它的销售区运汽油。软件运行的程序是除去成本支出后的目标函数，就是说，运行结果中的最优解要减去成本支出158000元，才是该炼油厂达到的最大利润。此时，炼油厂的最大利润为227330-158000=69330元。
类似的还可以做出很多模型，要看具体的变化情况。
5 结束语
在市场经济情况下，市场是在不断地变化，生产也应随着变化，用手工的方法确定企业生产等情况已满足不了市场经济的需求，一定要用计算机来编制企业管理中的生产等情况，作为一个合格的现代管理者一定要了解和掌握现代的管理方法和技术并用来指导企业的现代管理，为企业寻找出一条提高企业经济效益的途径。线性规划是企业经营者达到利润最优化的有利的决策手段，从上面的两个具体例子的应用证明，体现了线性规划在企业管理中的作用。

注： LINDO软件(LINDO = Linear, INteractive and Discrete Optimizer)是最优秀的最优化软件之一。属于数学、运筹学软件工具。由LINDO Systems, Inc 出品。目前的最高版本为LINDO 6.1。

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