高等数学函数极限概念PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,*,第二章 极 限,本章学习要求：,了解数列极限、函数极限概念，知道运用“,”,和“,X,”,语言描 述函数的极限。,理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则,以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。,理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。,掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的,函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。,理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极,限求相应的函数极限。,1,2025/3/25 周二,欢迎观看,2,2025/3/25 周二,第二章 极 限,第二节 函数的极限与性质,三,.,极限定义及定理小结,四,.,函数极限的基本性质,3,2025/3/25 周二,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数,域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到,函数中,并用极限理论研究函数的变化情形,.,的图形可以看出,:,如何描述它？,4,2025/3/25 周二,5,2025/3/25 周二,定义,想想：如何从几何的角度来表示该定义？,6,2025/3/25 周二,7,2025/3/25 周二,将图形对称过去后,你有什么想法,?,将图形对称,8,2025/3/25 周二,定义,9,2025/3/25 周二,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法,?,10,2025/3/25 周二,你能否由此得出,一个极限的定义,和一个重要的定理,.,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法,?,11,2025/3/25 周二,定义,12,2025/3/25 周二,由于,|,x,|,X,0,x,X,或,x,X,所以,x,按绝对值无限增大,时,又包含了,x,的情形,.,既包含了,x,+,13,2025/3/25 周二,定理,及极限的三个定义即可证明该定理,.,由绝对值关系式,:,14,2025/3/25 周二,证,成立,.,由极限的定义可知,:,例,1,15,2025/3/25 周二,解,无限缩小,可以小于任意小的正数,.,因而应该有下面证明我们的猜想,:,证明过程怎么写？,例,2,16,2025/3/25 周二,这里想得通吗？,17,2025/3/25 周二,由图容易看出：,分析,例,3,18,2025/3/25 周二,例,4,证,19,2025/3/25 周二,x,x,0,时函数,的,极限,是描述当,x,无限接近,x,0,时,函数,f,(,x,),的变化趋势,.,20,2025/3/25 周二,f,(,x,),在点,x,0,=0,处有定义,.,函数,f,(,x,),在点,x,0,=1,处没有定义,.,例,5,21,2025/3/25 周二,22,2025/3/25 周二,定义,23,2025/3/25 周二,(,(,24,2025/3/25 周二,证,这是证明吗？,非常非常严格！,例,6,25,2025/3/25 周二,证,例,7,26,2025/3/25 周二,证,？,如何处理它,例,8,27,2025/3/25 周二,这里,|,x,+2|,没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它,.,因为,x,1,所以,从某时候开始,x,应充分地接近,1,.,(,),0,x,2,1,1,1,1,+,1,分析,结论,28,2025/3/25 周二,证,证毕,例,8,29,2025/3/25 周二,在极限定义中：,1),与,和,x,0,有关,即,=,(,x,0,).,一般说来,值越小,相应的,值也越小,.,2),不等式f,(,x,),a,|0,同,时也要对,x,x,0,以任何方式进行都成立,.,3),函数,f,(,x,),以,a,为极限,但函数,f,(,x,),本身可以,不取其极限值,a,.,30,2025/3/25 周二,y,=,a,y,=,a,y,=,a,x,O,y,x,0,x,0,x,0,+,曲线只能从该矩形的左右两边穿过,31,2025/3/25 周二,3.,函数的左、右极限,定义,32,2025/3/25 周二,定义,33,2025/3/25 周二,(1),左、右极限均存在,且相等；,(2),左、右极限均存在,但不相等；,(3),左、右极限中至少有一个不存在,.,找找例题！,函数在点,x,0处的左、右极限可能出现,以下三种情况之一：,34,2025/3/25 周二,y=f,(,x,),x,O,y,1,1,在,x,=1,处的左、右极限,.,解,例,9,35,2025/3/25 周二,定理,利用,|,x,x,0,|,x,x,0,和极限的定义,即可证得,.,36,2025/3/25 周二,解,例,10,37,2025/3/25 周二,解,例,11,38,2025/3/25 周二,例,12,证,39,2025/3/25 周二,三、极限定义及定理小结,40,2025/3/25 周二,极限定义一览表,目标不等式,过 程 描 述,度 量,极限形式,41,2025/3/25 周二,极限定义一览表,目标不等式,过 程 描 述,度 量,极限形式,42,2025/3/25 周二,重要定理,43,2025/3/25 周二,在以后的叙述中,如果函数,f,(,x,),极限的某种,性质与运算,对任何一种极限过程均成立,则将使,表示对任意一种极限过程的函数,用符号,四、函数极限的基本性质,极限,.,函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书,.,44,2025/3/25 周二,1.,有界性定理,若,lim,f,(,x,),存在,则函数,f,(,x,),在该极限过程中必有界,.,2.,唯一性定理,若,lim,f,(,x,),存在,则极限值必唯一,.,3.,保号性定理,极限值的正负与函数值正负的关系,函数值的正负与极限值正负的关系,45,2025/3/25 周二,极限值的正负与函数值正负的关系,该定理也称为第一保号性定理,46,2025/3/25 周二,极限值正负与函数值正负关系的推论,作辅助函数,F,(,x,)=,f,(,x,),c,再利用定理的结论即可得,证,.,47,2025/3/25 周二,函数值的正负与极限值正负的关系,该定理也称为第二保号性定理,48,2025/3/25 周二,第二保号性定理成立,.,运用反证法,设,f,(,x,),0,(,f,(,x,),0),时,有,a,0),则由第一保号性定理将推出,f,(,x,)0),的矛盾,该矛盾就证明了,49,2025/3/25 周二,注意,:,当,f,(,x,)0,(,f,(,x,),g,(,x,),则有,a,b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号,.,令,F,(,x,)=,f,(,x,),g,(,x,)0,即可,进行证明,.,52,2025/3/25 周二,作业：,P48,1,（,2,）（,3,）,4,6,53,2025/3/25 周二,