浙江省温州市2012届高三八校联考试题数学理.doc

浙江省温州市2012届高三八校联考试题
数学(理科)试卷
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中为底面面积，为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1．若平面向量与向量平行，且，则( )
A． B． C． D．或
2．若,则等于( )
A． B． C． D．
3．由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为( )
A． B． C． D．
4．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,
过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
5．函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( )
A． B．
C． D．
6．不等式组的区域面积是( )
A． B． C． D．
7．已知等差数列项和为
等于( )
A．10 B．20 C．38 D．9
8．关于的方程有实根的充要条件是( )
A． B．
C． D．
9．平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A． B． C． D．
10．已知椭圆，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称时的取值范围为( )
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
11．右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________。
12．已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,则
的值为____________。
13．已知且，则使方程有解时
的的取值范围为____________。
14．函数有最大值，最小值，则实数
的值为____________。
15．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则
数列的前项和的公式是____________。
16．已知函数其中a为常数，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．若关于x的不等式对任意不等于1的正实数都成立，则实数m的取值集合是____________。
17．已知定义在上的函数．给出下列结论：①函数
的值域为；②关于的方程有个不相等的实数
根；③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则
· ；④存在，使得不等式成立，其中你认为正确的所有结论的序号为____________。
三、解答题：本大题共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
18．（本小题满分14分）
某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）写出函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．

20．（本小题满分15分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

21．本小题满分15分）
A
P
B
C
D
O
F2
F1
y
x
·
·
·
·
如图，已知椭圆E：，焦点为、，双曲线G：的顶点是该椭圆的焦点，设是双曲线G上异于顶点的任一点，直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线、的斜率分别为和，探求
和的关系；
（3）是否存在常数，使得恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由．
22、（本小题满分14分）
已知是定义在上的函数, 其三点, 若点的坐标为,且 在和上有相同的单调性, 在和上有相反的单调性.
（1）求 的取值范围；
（2）在函数的图象上是否存在一点, 使得 在点的切线斜率为?求出点的坐标；若不存在,说明理由；
（3）求的取值范围。
浙江省温州市2012届高三八校联考试题
数学(理科)试卷参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
答案
D
B
D
C
B
D
A
D
A
B
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
11． 12． 13．或 14．8
15． 16．{1} 17．①③
三、解答题：本大题共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
18、解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． ……1分
则P(A)=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分
P(B) （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．
P(C)．…7分
（Ⅱ）设摸球的次数为，则． ……8分
， ，
，．
（各1分）
故取球次数的分布列为

1
2
3
4

…12分
．(约为2.7) …14分
19、解：
……………3分
（1）
为所求……………6分
（2）
……………10分
……………14分
20、证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面……3分
（Ⅱ）解：因

……6分
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使……9分

为
所求二面角的平面角. ……12分
……15分
21、（1）由题意知，椭圆中
所以椭圆的标准方程为 …………2分
又顶点与焦点重合，所以；
所以该双曲线的标准方程为。 …………4分
（2）设点
在双曲线上，所以 所以 …………8分
（3）设直线AB：
由方程组得 ………10分
设
所以
由弦长公式
同理 ………12分
由代入得 ………13分

所以存在使得成立。 ………15分

22、解：（1）
由题意得：在和上有相反的单调性

当时，的另一个根为
在和上有相反的单调性

由题意得：
的三个不同根为
得

二个不同根为

综上得： …………5分
（2）假设在函数的图象上存在一点, 使得
在点的切线斜率为
则 有解（*）
令
得：与（*）矛盾
在函数的图象上不存在一点, 使得
在点的切线斜率为 …………10分
（3）由（1）得： …………14分