高等数学上册第三章(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,微分中值定理与导数的应用,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,1,应注意的问题,如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论有可能不成立,罗尔定理,如果函数,f,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在区间端点处的函数值相等,即,f,(,a,),f,(,b,),那么在,(,a,b,),内至少有一点,(,a,b,),使得,f,(,),0,下页,2,例,1,不用求出函数,f,(,x,),(,x,1)(,x,2)(,x,3),的导数,说明方程,f,(,x,),0,有几个实根,并指出它们所在的区间,f,(1),f,(2),f,(3),0,f,(,x,),在,1,2,2,3,上满足罗尔定理的三个条件,在,(1,2),内至少存在一点,1,使,f,(,1,),0,1,是,f,(,x,),0,的一个实根,在,(2,3),内至少存在一点,2,使,f,(,2,),0,2,也是,f,(,x,),0,的一个实根,f,(,x,),是二次多项式,f,(,x,),0,只能有两个实根,分别在区间,(1,2),及,(2,3),内,解,首页,3,拉格朗日中值定理,如果函数,f,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间a,b,),内可导,那么在,(,a,b,),内至少有一点,(,a,b,),使得,f,(,b,),f,(,a,),f,(,)(,b,a,),直线,AB,的斜率,下页,4,定理的几何意义,三、柯西中值定理,柯西中值定理,如果函数,f,(,x,),及,F,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),对任一,x,(,a,b,),F,(,x,),0,那么在,(,a,b,),内至少有一点,使得,结束,5,3.2,洛必达法则,未定式,6,说明,把定理中的“,x,a,”,换成“,x,”,把条件,(2),换成“当,|,x,|,N,时,f,(,x,)和,g,(,x,),都可导且,g,(,x,),0”,结论仍然成立,定理,1(,洛必达法则,),如果函数,f,(,x,),及,g,(,x,),满足,(1),当,x,a,时,函数,f,(,x,),及,g,(,x,),都趋于零,(,或无穷,),(2),在点,a,的某去心邻域内,f,(,x,),及,g,(,x,),都存在,且,g,(,x,),0,下页,7,“,零比零”型未定式的定值法,解,下页,8,“,零比零”型未定式的定值法,解,下页,9,“,无穷比无穷”型未定式的定值法,解,下页,10,其它类型未定式的定值法,未定式,0,、,、,0,0,、,1,、,0,都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式,解,下页,11,3.4,函数的单调性与曲线的,凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的,凹凸性,与拐点,12,一、函数单调性的判定法,函数,y,=,f,(,x,),的图象有时上升,有时下降,.,如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,f,(,x,),0,f,(,x,),0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,所以函数,y,x,sin,x,在,0,2,p,上的单调增加,下页,15,因为在,(,0),内,y,0,所以函数,y,e,x,x,1,在,0,),上单调增加,函数,y,e,x,x,1,的定义域为,(,),y,e,x,1,例,2,讨论函数,y,e,x,x,1,的单调性,解,定理,1(,函数单调性的判定法,),设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,(1),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,时,y,0,所以函数在,(,0,上单调减少,因为,x,0,时,y,1,时,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在,1,),上,f,(,x,),单调增加,证明,因此当,x,1,时,f,(,x,),f,(1),=,0,即,首页,20,二、曲线的,凹凸性,与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,下页,21,定理,2(,曲线凹凸性的判定法,),设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,例,7,判断曲线,y,ln,x,的凹凸性,因为在函数,y,ln,x,的定义域,(0,),内,y,0则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,下页,23,拐点,连续曲线,y,f,(,x,),上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论,如何确定曲线,y,f,(,x,),的拐点？,如果,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点且,f,(,x,0,),存在,问,f,(,x,0,),=,？,如何找可能的拐点？,提示,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,在,拐点,(,x,0,f,(,x,0,),处,f,(,x,0,),=,0,或,f,(,x,0,),不存在,.,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,下页,24,例,9,求曲线,y,2,x,3,3,x,2,2,x,14,的拐点,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,y,6,x,2,6,x,12,解,下页,25,下页,例,10,求曲线,y,3,x,4,4,x,3,1,的拐点及凹、凸的区间,列表判断,在区间,(,0,和,2/3,),上曲线是凹的,;,在区间,0,2/3,上曲线是凸的点,(0,1),和,(2/3,11/27),是曲线的拐点,(,0),0,(,0 2/3),2/3,(2/3,),0,0,1,11/27,f,(,x,),f,(,x,),x,函数,y,3,x,4,4,x,3,1,的定义域为,(,),解,下页,26,内容小结,1.,可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,2.,曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,27,3.5,函数的极值与最大最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,28,定义,(,极值与极值点,),一、函数的极值及其求法,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点,.,观察与思考,观察极值与切线的关系,.,下页,29,设函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,且在,(,a,x,0,),(,x,0,b,),内可导,(1),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,在,(,x,0,b,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,(2),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,(3),如果在,(,a,x,0,),及,(,x,0,b,),内,f,(,x,),的符号相同,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处没有极值,定理,2(,第一充分条件,),x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,下页,30,确定极值点和极值的步骤,(1),求出导数,f,(,x,),;,(2),求出,f,(,x,),的全部驻点和不可导点,;,(3),考察在每个驻点和不可导点的左右邻近,f,(,x,),的符号,;,(4),确定出函数的所有极值点和极值,.,设函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,且在,(,a,x,0,),(,x,0,b,),内可导,(1),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,在,(,x,0,b,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,(2),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,(3),如果在,(,a,x,0,),及,(,x,0,b,),内,f,(,x,),的符号相同,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处没有极值,定理,2(,第一充分条件,),下页,31,例：求函数,的极值。,32,例,2,求函数,f,(,x,),(,x,2,1),3,1,的极值,解,f,(,x,),6,x,(,x,2,1),2,令,f,(,x,),0,求得驻点,x,1,1,x,2,0,x,3,1,f,(,x,),6(,x,2,1)(5,x,2,1),因为,f,(0),6,0,所以,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,极小值为,f,(0),0,因为,f,(,1),f,(1),0,所以用定理,3,无法判别,因为在,1,的左右邻域内,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在,1,处没有极值,同理,f,(,x,),在,1,处也没有极值,首页,33,练习,.,求函数,的极值,.,34,最大值和最小值的求法,(1),求出函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内的驻点和不可导点,设这此点,为,x,1,x,2,x,n,;,(2),计算函数值,f,(,a,),f,(,x,1,),f,(,x,n,),f,(,b,),;,(3),判断,:,最大者是函数,f,(,x,),在,a,b,上的最大值,最小者是函数,f,(,x,),在,a,b,上的最小值,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,M,m,下页,35,