《二次函数与实际问题》.doc

《实际问题与二次函数》教学设计
——二次函数的最值问题
轵城二中 卢秋连
一、 内容和内容解析
1. 内容
二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的最小(大)值及其应用。
2. 内容解析
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题。例如我们生活中经常涉及到的求最大高度、最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小（大）值有关。充分体现了数学从生活中来又到生活中去。
本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小（大 ）值，并运用这个结论解决相关的实际问题。通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生综合运用所学知识构造出二次函数模型。在矩形面积与矩形一边长两个变量之间关系的基础上又通过变式训练（受墙长的影响）探究二次函数的最（小）大值问题。探究从“数”（解析式）到“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题。

二、目标和目标解析
1.目标
（1）会求y=ax2 +bx+c(a≠0)的最小（大）值。
（2）能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题。
（3）通过实际问题与二次函数的联系，体验二次函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。
2.目标解析
（1）达成目标1的要求是：学生会借助二次函数的图象得到二次函数的最小（大）值的结论，掌握当x=时，函数有最小（大）值。
（2）达成目标2的要求是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题。
（3）达成目标3的要求是：从我们比较熟悉的生活情景作为问题背景，使学生在学习中感到亲切，更加乐于接受，学生容易产生兴趣，也更加乐意去解决问题，从中体验到数学学习的快乐。
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了二次函数的概念、图象及性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础。但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生充分理解题意，综合运用所学知识构造出二次函数模型，再利用二次函数的图象及性质（数形结合）求解，对学生来说，要完成这一过程难度较大。
基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数。从“数”（解析式）到“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”思想。
四、教学过程设计
一、创设情境 引入问题
师：抛物线在我们的生活中随处可见，到处都有它的身影，如：喷泉喷出的水柱、石拱桥的桥拱、打篮球时篮球经过的路线等等。在现实生活中，求最大面积、最高高度、最大利润等问题经常接触到。让我们共同走进二次函数的世界里，先去寻找我们身边的抛物线吧。
问题1：美丽的轵城二中校园里有个漂亮的假山喷泉。（学生欣赏图片）如图，喷水池是圆形的，在水池中央高m的山顶上安一个喷水头，如图所示建立平面直角坐标系，水喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=你能求出喷出的水流距水平面的最大高度是多少吗？

师生活动：老师提出问题，让学生尝试用已有的知识解决此问题。学生通过求二次函数的顶点坐标，解决此问题：当x==1时，y有最大值=3。也就是说，当水流的水平距离是1m时，水喷出的最大高度是3m.
师：还可以有哪些方法求出呢？
生：利用配方法求顶点坐标或先求出对称轴再代入解析式求最大值。
设计意图：通过分析，让学生在解决问题的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度。从学生比较熟悉的生活实际引入，让学生感知数学就在我们身边，数学来源于生活又服务于生活。
二、类比探究 解决问题
问题2：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l是多少米时，场地的面积 S 最大？
师生活动：学生借助问题1中解决问题的经验解决此问题得出答案。S=（30-l）l,整理得S=-l2+30l(0﹤l﹤30).因此，当l==15时，S有最大值=225，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大。

如果学生在解决问题中仍感到困难时，教师可通过以下追问进行引导。
师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
师追问2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边之间的数量关系吗？
师追问3：如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出当l是多少米时，场地的面积S最大？
师生活动：可借助图象进行分析。

设计意图：借助追问，知道学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生有不同层次的发现，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于今后应用这一数学模型解决实际问题。
变式一：用一段长60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

l
l

60-2l

师：面积与一边长之间又是怎样的数量关系呢？自变量的取值范围发生了哪些变化？最大面积又是多少？
师生活动：鼓励学生思考，说出方法。
师：不妨我们设垂直于墙的边长为lm,菜园面积为Sm2,则S与l之间的函数关系是什么？墙长32m对此题有什么作用？
答案：S=l(60-2l) =-2l2 +60l (14≤l＜30)
师生活动：可借助图象进行分析。

变式一 变式二
变式二：如果变式一中的“墙长32m”改为“墙长18m”呢？这时矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？
师：面积和边长之间的函数关系发生变化了吗？你又是如何确定自变量的取值范围呢？最大面积又是多少呢？
师生活动：如果设垂直于墙的边长仍为lm的话，S=l(60-2l) =-2l2 +60l，但自变量的取值范围变为：21≤l＜30。
师生活动：通过类比，结合图象，得出结论。
答案：因为抛物线的对称轴为l=15，又由于21＞15，因此只能利用函数的增减性求最值。当l=21时，S的最大值为378。
师生活动：通过类比，得出结论。
小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定。通过对变式一和变式二的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值。
设计意图：问题2到变式一、二围绕同一个背景，使用一题多变，能够更好地让学生理解其异同及解法的不同，变式一、二在问题2的基础上对自变量取值进行改变，意在体现对函数图象顶点、端点与最值关系的理解和应用。
三、归纳总结
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当x=
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值。
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值。
设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过学生之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的数学思维习惯。
四、中考链接
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题。
设计意图：巩固本节所学的内容，再次体会将二次函数的最大（小）值的结论与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。
五、课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）如何求二次函数的最大（小）值？如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？
（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。
六、布置作业
如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动。设运动时间为x（秒），△PBQ的面积为ycm2。
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）求△PBQ的面积的最大值。