平面点集的一般概念(课堂PPT).ppt

第一章 复数与复变函数,1.3,平面点集的一般概念,1.3,平面点集的一般概念,一、平面点集,二、区域,三、平面曲线,一、平面点集,1.,邻域,设 为复平面上的一点，,定义,d,z,0,d,z,0,(1),称点集 为 点的,邻域,；,(2),称点集 为 点的,去心邻域,。,内点,一、平面点集,2.,内点、外点与边界点,(1),内点,外点,边界点,考虑某平面点集,G,以及某一点 ，,(2),有,外点,(1),(2),有,边界点,(1),不一定属于,G,；,在 中，,(2),既有,又有,边界,G,的边界点的全体称为,G,的,边界,。,3.,开集与闭集,开集,如果,G,的每个点都是它的内点，则称,G,为,开集,。,一、平面点集,闭集,如果,G,的边界点全部都属于,G,，则称,G,为,闭集,。,4.,有界集与无界集,定义,若存在 ，使得点集,G,包含在原点的 邻域内，,则,G,称为,有界集,，,否则称为,非有界集,或,无界集,。,二、区域,1.,区域与闭区域,区域,平面点集,D,称为一个,区域,，如果它满足下列两个条件,:,(1),D,是一个开集；,(2),D,是,连通,的，,闭区域,区域,D,与它的边界一起构成,闭区域,或,闭域,记作,D,。,不连通,的一条折线连接起来。,即,D,中任何两点都可以用完全属于,D,连通,二、区域,2.,有界区域与无界区域,(,顾名思义,),3.,内区域与外区域,（如何围出面积最大的区域）,定义,一条“,简单闭曲线,(,?,),”,把整个复平面分成两个区域，,其中,有界,的一个称为该简单闭曲线的,内部,(,内区域,),，,称为该简单闭曲线的,外部,(,外区域,),。,4.,单连通域与多连通域,定义,设,D,为区域，如果,D,内的任何一条简单闭曲线的,内部,仍,属于,D,，则,D,称为,单连通域,，,多连通域,又可具体分为,二连域,、,三连域,、,。,另一个,否则称为,多连通域,。,A,省,(,二连域,),(,三连域,),二、区域,4.,单连通域与多连通域,A,省,(,单连域,),B,省,(,单连域,),B,省,(,非区域,),举例,(,杜撰,)飞地,区域,1,-,2,+,i,闭区域,(,角形,),区域,三、平面曲线,1.,方程式,在直角平面上,在复平面上,如何相互转换,？,(,比较熟悉,),(,比较陌生,),(1),(2),(,建立方程,),(,理解方程,),i,-,i,(1),i,-,i,(2),2,i,-,2,(3),1,-,1,2,-,2,(4),1,-,1,(5),三、平面曲线,2.,参数式,在直角平面上,在复平面上,例如,考察以原点为圆心、以,R,为半径的圆周的方程,。,(2),在复平面上,(1),在直角平面上,三、平面曲线,3.,曲线的分类,考虑曲线,简单曲线,当 时，,简单闭曲线,简单曲线且,光滑曲线,在区间 上，,和 连续且,简单、不闭,简单、闭,不简单、闭,不简单、不闭,三、平面曲线,4.,有向曲线,定义,设,C,为平面上一条给定的光滑,(,或分段光滑,),曲线,，,指定,C,的两个可能方向中的一个作为正向,，,则,C,为带有,方向的曲线，称为,有向曲线,，仍记为,C,。,代表与,C,的方向相反,(,即,C,的负方向,),的曲线。,如果,相应地，,则,逆时针方向。,区域,区域,三、平面曲线,4.,有向曲线,简单闭曲线的正向一般,约定,为,：,当曲线上的点,P,顺此方向沿曲线,前进时,区域边界曲线的正向一般,约定,为,：,当边界上的点,P,顺此方向沿边界,前进时,曲线所围成的有界区域,始终,位于,P,点的左边。,所考察的区域,始终位于,P,点,的左边。,注意,区域可以是多连域。,曲线,