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扑克牌中的数学题

一副扑克 54张牌，任意抽出几张牌，其组合千变万化，抽牌的方式方法也是变化无穷。细推细究，有如品茗鉴宝，益心身，增智慧，其乐融融。
1、 一副扑克牌有54张，最少要抽出多少张，才能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
析：把点数相同的牌放在同一个抽屉里，就有了牌点分别为1、2、3……12、13的抽屉13个，每个抽屉中有4张牌；再把大王、小王分别单独放在两个抽屉中，这样一共就有了15个抽屉。根据抽屉原理知，至少要从某个抽屉中抽出两张牌，所以，最少要抽出
15+1=16（张）
才能保证其中至少有2张牌有相同的点数。
2、 一副扑克牌有54张，最少要抽出多少张，才能保证其中至少有2张牌花色相同（花色指黑桃、红桃、梅花、方块）？
析：把花色相同的牌放在同一个抽屉中，就有了黑、红、梅、方4个抽屉；再把大、小王分别单独放在两个抽屉中，这样一共就是 4+1+1=6个抽屉。根据抽屉原理知，至少要从某个抽屉中抽出两张牌，所以，最少要抽出
6+1=7（张）
才能保证其中至少有2张牌花色相同。
3、 一副扑克牌有54张，最少要抽出多少张，才能保证其中有2张红桃？
析：出现最糟的情况是，黑桃、梅花、方块，大小王都抽出来了还没抽到红桃，这时再抽2张就一定是红桃了。
所以至少要抽出
13×3+2+2=43（张）
才能保证其中有2张红桃。
4、 一副扑克牌有54张，最少要抽出多少张，才能保证其中有2张牌的点数是两个连续的自然数？
析：1、2、3……12、13中，奇数有7个——1、3、5、7、9、11、13，偶数有6个——2、4、6、8、10、12。任何两个相邻的奇数或偶数都不是连续自然数。最糟的情况是连续把所有的奇数（不取偶数是因为偶数个数比奇数个数少，不能得出“保证有”的结果）和大小王都抽了出来，当然没得到解。这时再抽出一张牌，无论抽出的是哪个偶数，它总可以与前面的某个奇数组成一对连续自然数。所以，至少要抽出
4×7+2+1=31（张）
才能保证其中有两张牌的点数是两个连续自然数。
5、 一副扑克牌54张，从中任意抽牌，至少要抽多少张，才能保证其中有4张牌花色（花色指黑桃、梅花、红桃、方块）相同？
析：先不考虑大小王，就研究52张正牌。设黑、红、梅、方4个抽屉，把52张正牌当作物体。根据抽屉原理：把mn+1个物体放在n个抽屉里，其中至少有1个抽屉中有m+1个物体。
结合本题，知 n=4， m+1=4.， m=4-1=3。
mn+1=3×4+1=13
出现最糟的情况是抽出了大小王，所以，至少要抽出
13+2=15（张）
才能保证其中有4张牌花色相同。
6、 一副扑克牌去掉大小王后，每人任意抽两张牌，至少要有多少人，才能保证其中有1人抽出的两张牌花色相同？
析：每种花色的牌各是13张。两张牌的组合有：（黑、黑）红、红）、（梅、梅）、（方、方）、（黑、红）、（黑、梅）、（黑、方）、（红、梅）、（红、方）、（梅、方）共10种，其中有6种组合花色不同。根据最不利原则，首先抽出能够组成的所有6种花色不同的组合，是（黑、红）、（黑、梅）、（黑、方）、（红、梅）、（红、方）、（梅、方）。可以看出这6种花色不同的组合，每循环1轮，每种花色的牌各用去3张。 因为
13÷3=4……1
就是说循环4轮后，每种牌各用去
3×4=12（张）
还余1张。这余下的黑桃、红桃、梅花、方块各1张，已不能组成两张花色相同的组合牌。
所以，无论有多少人抽牌都不能保证其中有1人抽出的两张牌花色相同。
7、 一副扑克牌去掉大小王后，每人任意抽2张牌，至少要有多少人，才能保证其中有两人抽出的牌花色相同？
析：两张牌的组合有：（黑、黑）、（红、红）、（梅、梅）、（方、方）、（黑、红）、（黑、梅）、（黑、方）、（红、梅）、（红、方）、（梅、方），共是10种。根据抽屉原理知，人数至少要比抽屉数多1，所以，至少要有
10+1=11（人）
才能保证其中有两人抽出的牌花色相同。
8、 一副扑克牌54张，至少要抽出多少张，才能保证抽出的牌中黑、红、梅、方4种花色的牌都有？
析：最糟的情况是首先就把大小王和其中3种花色的都抽出来了，共是
2+13×3=41（张）
当然还没得到解。这时再抽1张，无论抽到的是什么牌，4种花色的牌就都全了。所以，至少要抽出
41+1=42（张）
才能保证抽出的牌中黑、红、梅、方4种花色的牌都有。
9、 一副扑克牌共54张，问至少从中抽出多少张牌才能保证其中有5张牌花色相同？
析：把四种花色设为4个抽屉。根据抽屉原理：mn+1个物体放在n个抽屉中，其中至少有1个抽屉中有m+1个物体。结合本题知：n=4 m+1=5 m=5-1=4
mn+1=4×4+1=17
再依据最不利原则，考虑首先就抽出了大小王，所以，至少要从中抽出
17+2=19张牌，
才能保证其中有5张牌花色相同。
10、 一副扑克牌54张，至少要从中抽出多少张，才能保证其中至少有3张牌是红桃？
析：按照最不利原则，考虑首先就把大小王及所有的黑桃、梅花、方块都抽出来了，共是
2+13×3=41（张）
再抽3张一定都是红桃。所以，至少要从中抽出
41+3=44（张）
才能保证其中至少有3张牌是红桃。
11、 一副扑克牌共54张，至少要从中抽出多少张才能保证其中至少有2张梅花和3张红桃？
析：按最不利原则，先抽出了大小王和所有的黑桃、方块，共是
2+13×2=28（张）
接着抽出了所有的梅花和3张红桃（若抽出所有的红桃和2张梅花，则不能得出“保证有”的结果），是
13+3=16（张）
所以，至少要从中抽出
28+16=44（张）
才能保证其中至少有2张梅花和3张红桃。
12、（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛C卷、D卷第11题）一副扑克牌共54张，其中1~13点各有4张，还有2张王牌，至少取出多少张，才能保证其中必有4张牌的点数相同？
析：按照最不利原则，首先取出了大小王及每种点数的牌各3张，共是
2+13×3=41（张）
这时还没得到要求的解，再任取1张，必定出现4张牌点数相同。所以，至少要取出
41+1=42（张）
才能保证其中必定有4张牌的点数相同。
13、（2006年华罗庚金杯数学邀请赛）自制的一副玩具牌共计52张，（含四种牌：黑桃、红桃、梅花、方块，每种牌都有1点、2点……13点牌各1张），洗好后背面向上放好，
（1）一次至少抽出多少张牌，才能保证必定有2张牌的点数和颜色都相同？
（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么，至少要抽多少张牌？
解：（1）抽出的牌的点数有1、2、3……12、13共13种，颜色有黑、红两种。按照最不利原则，先抽出黑、红颜色的1、2、3……12、13各1张，共是
13×2=26（张）。
当然还没得到要求的解，再抽出 1张，无论抽到的是什么牌，必定会出现有2张牌的点数和颜色都相同的情况。所以，至少要抽出
26+1=27（张）
才能保证必定有2张牌的点数和颜色都相同。
（2）牌的点数（不计颜色）分别是12、3……12、13，其中奇数有1、3、5、7、9、11、13共7个，偶数有2、4、6、8、10、12共6个。任何两个相邻的奇数或偶数都不是相邻的自然数。根据最不利原则，先抽出所有的牌点为奇数（若先抽出所有的偶数则得不出“至少”的结果）的牌，是
7×4=28（张）
当然还没产生解。再抽1张牌，牌点必定是偶数，这个偶数一定能够与它前后相邻的两个奇数构成3个相邻的自然数数。所以，至少要抽出
28+1=29（张）
才能保证其中必定有3张牌的点数是相邻的。
{以下是另一个同仁的解，我认为是不对的。欢迎有同趣者指点。
[(2)构建点数（不计颜色）相邻的抽屉如下(1、2、3)，（4、5、6）、（7、8、9），（10、11、12），（13）。根据最不利原则，先抽出牌点为1、2、4、5、7、8、10、11、13的牌各4张，共是
9×4=36（张）
此时还没得到要求的解。再任意抽出1张，必定出现有3张牌的点数是相邻的。所以，至少要一次抽出
36+1=37（张）
才能 保证其中必定有3张牌的点数是相邻的。]}
任意抽出几张牌，组成不同组合，看似简单，实则幻化无穷，内含诡变，常人难以周全。人事变化之诡异更有过之。为人当淡泊无欲，知足不辱才是福。