二次函数自我综合评价.doc

自我综合评价(一)
[测试范围：第26章　二次函数　时间：45分钟　分值：100分]

一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1．下列函数中是二次函数的是(　　)
A．y＝＋1 B．y＝x2＋
C．y＝(x－2)2＋3x D．y＝ax2
[解析] C　根据二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为常量且a≠0)的函数是二次函数，其中式子ax2＋bx＋c是整式，x的最高次数为2，常数a≠0，b，c可以为零．所以A，B不正确，D选项没有说明a的取值不为零，而C选项化简后是y＝x2－x＋4，是二次函数，所以选C.
2．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　)
A．(－3，－6) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－3，－4)
[解析] C　二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的表达式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时的二次函数图象的顶点坐标为(1，－6)．
3．抛物线y＝ax2＋bx－3过点(2，4)，则代数式8a＋4b＋1的值为(　　)
A．－2 B．2 C．15 D．－15
[答案] C
4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
[答案] D
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象如图26－Z－1所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(　　)

图26－Z－1
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x<时，y随x的增大而减小
D．当－10
[解析] D　因为抛物线开口向上，图象有最低点，所以函数有最小值，所以选项A的说法是正确的；抛物线交x轴于点(－1，0)和(2，0)，这两点的中点坐标是(，0)，由抛物线的对称性可以确定选项B的说法是正确的；因为在对称轴左侧图象从左往右下降，所以选项C的说法是正确的；由图可知，当－1B．2 C．3 D．4
[解析] D　抛物线开口向下，a<0；对称轴在y轴左侧，－<0，得b<0，抛物线与y轴交于x轴上方，c>0，所以abc>0，由对称轴－>－1，得b－2a>0，从抛物线可知当x＝－2时，函数值小于零，即4a－2b＋c<0，当x＝1时，函数值小于零，当x＝－1时，函数值大于零，所以a＋b＋c<0，a－b＋c>0，从而(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，得到(a＋c)2y＝3x2＋x＋3与y轴的交点的坐标为________．
[答案] (0，3)
9．若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，10)，则a－b＋c＝________．
[答案] 10
10．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图26－Z－3所示)，则能使y1>y2成立的x的取值范围是____________．

图26－Z－3
[答案] x<－2或x>8
[解析] 通过观察图象可看出，y1>y2分为两部分，x<－2时或x>8时．同样我们也可看出y1汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是s＝v2，在一辆车速为100 km/h的汽车前方80 m处，发现停放一辆故障车，此时刹车________有危险(填“会”或“不会”)．
[答案] 会
[解析] 把v＝100代入s＝v2，得汽车刹车距离s＝100(m)＞80 m，因此有危险．
12．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图26－Z－4所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________．

图26－Z－4
[答案] x1＝－1，x2＝3
[解析] 由图象可知抛物线过点(3，0)，将其坐标代入函数关系式，得m＝3，解方程－x2＋2x＋3＝0可得另一个交点的坐标为(－1，0)．　
13．如图26－Z－5，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)

图26－Z－5
[答案] ③④
[解析] ①∵函数图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3，∴对称轴为直线x＝1，即－＝1，变形得：2a＋b＝0.∴此选项错误；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c<0，∴此选项错误；
③把(－1，0)和(3，0)代入表达式可得：①×3＋②，得12a＋4c＝0，即c＝－3a，∴此选项正确；
④当a＝时，由－＝1可得b＝－1；由a－b＋c＝0可得c＝－；则D点的纵坐标为：＝＝－2，则D点到x轴的距离为2.连结AD，BD，
∵顶点为D，∴AD＝BD.又AB＝2，可证△ABD是等腰直角三角形，∴此选项正确；
⑤根据题意可得：AC2＝1＋9a2，AB2＝16，BC2＝9＋9a2.当AC＝AB时，1＋9a2＝16，解得a＝±，∵a＞0，∴a＝；当AC＝BC时，1＋9a2＝9＋9a2，此方程无解，∴这种情况不存在；当AB＝BC时，16＝9＋9a2解得a＝±，∵a＞0，∴a＝.综上所述，符合要求的只有2个数值，∴此选项错误．
故答案为③④.
三、解答题(本大题共4小题，共48分)
14．(10分)如图26－Z－6，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．
(1)求该二次函数的关系式；
(2)画出该二次函数的图象．

图26－Z－6
解：(1)根据题意，得c＝2，解得所以该二次函数的关系式为y＝－x2＋2x＋2.
(2)略．
15．(12分)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
解：(1)证法一：因为－4＝－12<0，
所以，方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
所以，不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点．
证法二：因为a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，
所以该函数的图象在x轴的上方．
所以，不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3.
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
所以，把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
16．(12分)某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元．
[解析] (1)利用数量关系“每件利润×总件数＝总利润”，即可求出y与x的函数关系式；(2)利用二次函数的性质可以求解；(3)借助一元二次方程和二次函数求解．
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15，且x为整数)．
(2)y＝－10x2＋110x＋2100＝－10(x－5.5)2＋2402.5.
∵a＝－10＜0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400；
当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400.
∴当售价定为每件55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2400元．
(3)当y＝2200时，－10x2＋110x＋2100＝2200，解得x1＝1，x2＝10.
∴当x＝1时，50＋x＝51；
当x＝10时，50＋x＝60.
∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润恰为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元)．
17．(14分)如图26－Z－7所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，连结AD，点P是线段AD上一个动点(不与点A，D重合)．经过点P作y轴的垂线，垂足为E，连结AE.
(1)求抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果点P的坐标为(x，y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S的最大值；
(3)在(2)的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出点P′的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

图26－Z－7 　图26－Z－8
解：(1)∵抛物线过点A(－3，0)，B(1，0)，
∴设其函数关系式为y＝a(x＋3)(x－1)，
将点C(0，3)的坐标代入关系式，
得a＝－1，
即抛物线所对应的函数关系式为y＝－x2－2x＋3，顶点D的坐标为(－1，4)．
(2)如图26－Z－8，过点A作AH⊥EP交EP的延长线于点H，
∵A(－3，0)，D(－1，4)，
∴直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋6，
∴S＝AH·EP＝－xy＝－x(x＋3)＝－(x＋)2＋，自变量的取值范围是－3＜x＜－1
当x＝－时，S取得最大值，最大值为.
(3)当S取到最大值时，点P的坐标为(－，3)，且点E与点C重合．
如图26－Z－9所示，过点P′作x轴的垂线交x轴于点N，交PE的延长线于点M.

图26－Z－9
∵PE＝1.5，PF＝3且△FPE≌△FP′E，
∴P′F＝PF＝3，P′E＝PE＝1.5.
设点P′的坐标为(m，n)，可得ME＝m，MP′＝3－n，P′N＝n，FN＝m＋1.5.
易证△MEP′∽△NP′F，
∴＝＝＝，
即＝＝，解得m＝0.9，n＝1.8.
∴P′(0.9，1.8)，当x＝0.9时，y＝－x2－2x＋3＝－0.81－1.8＋3＝0.39，∴该点不在抛物线y＝－x2－2x＋3上．