【KS5U推荐】2018高考数学（理）复习+2013-2017高考分类汇编+第7章+不等式++Word版含解析【KS5U+高考】.doc

第七章 不等式
第一节 不等式的性质与不等式的解法
题型75 不等式的性质
1.（2014 四川理 4）若，，则一定有（ ）.
A． B． C． D．
2.（2015浙江理3）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成
等比数列，则（ ）．
A. B. C. D.
2.解析 因为成等比数列，所以，
即，所以．
因为，所以，所以．
又 ，
所以．故选B．
3.（2015全国2理24）设均为正数，且. 证明：
(1) 若，则；
(2) 是 的充要条件.
3.解析 （1）因为，，
由题设，，得，

因此.
（2）( i)若，则，即.
因为，所以，由（Ⅰ）得.
( ii)若，则，
即.因为，所以，
于是，因此.
综上，是的充要条件.
题型76 比较数（式）的大小
1. (2013全国新课标卷理8）设则（ ）.
A. B. C. D.
2.（2014 辽宁理 3）已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
3.（2014 山东理 5）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.
A. B. C. D.
4.（2015安徽理3）设，，则是成立的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.解析 由得，所以，但，所以是的充分不必要条件．故选A．
5.（2015湖北理8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加
个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）．
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
5.解析 ，
当时，，；当时，，.故选D.
6.（2015陕西理9）设，若，，
，则下列关系式中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6.解析 解法一：依题意，
，
，所以.故选C.
解法二：令，，，，
所以.故选C.
7.（2015天津理7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，
记，，，则，， 的大小关系为（ ）.
A. B． C． D.
7.解析 因为函数为偶函数，所以，即，
所以
.
所以.故选C.
8.（2016全国丙理6）已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
8.A 解析 由，，得，由，则因此.故选A.
9.（2016全国乙理8）若，则（ ）.
A. B. C. D.
9. C 解析 对于选项A，由于，所以函数在上单调递增.由，得.故A错误；
对于选项B，要比较与的大小，只需比较与的大小.构造函数，因为，所以，因此函数在上单调递增.又，所以，即.故B错误；
对于选项C，要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小.构造辅助函数，.令，得.函数在上单调递增，因此，若，得，故.
又，所以，即，得.故选项C正确；
对于选项D，比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小.又，得，所以.又，得，即.故选项D不正确.
综上可得，故选C.
10.（2016浙江理8）已知实数（ ）.
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.D 解析 举反例排除法:对于选项A，可以令，例如令，则，但是，所以选项A不正确；对于选项B，可以令，例如令，则，
但是，所以选项B不正确；对于选项C，可以令，
例如令，则，但是，所以选项C不正确，故选D.
11.(2017北京理13)能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________________．
11.解析 由题知，取一组特殊值且为整数，如，，.
12.（2017山东理7）若，且，则下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
12.解析 由题意知，，所以，，
.故选B.
评注 本题也可采用特殊值法，如，易得结论.
题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法
13．(2013天津理8）已知函数． 设关于的不等式的解集为， 若， 则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
14 (2013安徽6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
15.（2013广东9不等式的解集为 ．
16.（2014 广东理 9）不等式的解集为 .
17.（2016上海理1）设，则不等式的解集为_____________.
17. 解析 由题意，即，则解集为.故填.
题型78 分式不等式的解法——暂无
第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
题型79 二元一次不等式组表示的平面区域
1.（2014 湖北理 7）由不等式确定的平面区域记为，不等式组确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）.
A. B. C. D.
2.（2016浙江理3）在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（ ）.
A. B. C. D.
2.C 解析 如图所示，的边界及内部为约束条件的可行域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，也就是线段.因为四边形为矩形，所以，由，得.由，得..故选C.

题型80 求解目标函数的取值范围或最值
1．(2013天津理2） 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
2. (2013全国新课标卷理9）已知，满足约束条件，若的最小值为，则（ ）.
A. B. C. D.
3. （2013山东理6）在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
4. （2013山东理12） 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
5. (2013湖南理4）若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
x
y
4
4
1
O
6．（2013广东13）给定区域:，令点集
是在
上取 得最大值或最小值的点，则中的点共确定
条不同的直线．
7. (2013陕西理13）若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值为 .
8. (2013陕西理15A）A.（不等式选做题）已知均为正数，且，则的最小值为 .
9.（2014 广东理 3）若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（ ）.
A． 　　B. 　　　　C. 　　　　　 D.
10.（2014 山东理 9）已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为( ).
A. B. C. D.
11.（2014 天津理 2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　 ）.
A.　　 B.　 C.　　 D.
12.（2014 新课标1理9）不等式组的解集记为.有下面四个命题：
：，；：，；
：，； ：，.
其中真命题是（ ）.
A. ， B. ， C. ， D. ，
13.（2014 新课标2理9）设满足约束条件，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
14.（2014 大纲理 14）设x，y满足约束条件，则的最大值为 .
15.（2014 福建理 11）若变量满足约束条件，则的最小值为 .
16.（2014 辽宁理 16） 对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为 .
17.（2014 四川理 14）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 .
18.（2015浙江理14）若实数满足，则的最小值
是 ．
18.解析 依题意可得：
.
由得，
原式（）.
所以.当时取等号.
所以.
19.（2015四川理9） 如果函数在区间
上单调递减，那么的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
19.解析 当时，抛物线的对称轴为；
当时，，即.
因为，所以.
由且，得；
当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即.
因为，所以.
由且，得，故应舍去.
要使得取得最大值，应有.
所以.所以最大值为.故选B.
20.（2015天津理2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数
的最大值为（ ）.
A. 3 B.4 C.18 D. 40
20.解析 不等式所表示的平面区域如图所示，当所表示直线经过
点时，有最大值.故选C.

21.（2015湖南理4）若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
21. 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，
由图可知，当直线过点时，纵截距最大，即此时有最小值. 联立，解得，即. 所以. 故选A.

22.（2015北京理2）若，满足，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
22.解析 不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在处取得最大值2.
故选D.

23.（2015福建理5）若变量 满足约束条件， 则 的最小值
等于（ ）.
A． B． C． D．2
23.解析 画出可行域，如图所示．目标函数变形为，当最小时，
直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点
时，取到最小值，最小值为．故选A．

24.（2015广东理6）若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
24.解析 不等式所表示的可行域如下图所示，由得，
依题当目标函数直线经过点时，取得最小值，
即．故选B．

25.（2015全国1理15）若，满足约束条件，则的最大值为 .
25.解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

26.（2015全国2理14）若x，y满足约束条件，则的最大值为
______．
26.解析 根据题意，画出可行域，如图所示，
将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点处，则有最大值．

27.（2016全国丙理13）若，满足约束条件 则的最大值为_____________.
27. 解析 可行域如图所示.当直线经过时，取最大值为.

28.(2016北京理2)若满足，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
28. C 解析 如图所示，先作出可行域，为的内部及其边界，其中，，. 把初始直线向上平移时，的值越来越大，所以当且仅当直线经过点时，，即的最大值为.故选C.

29.(2016天津理2)设变量，满足约束条件.则目标函数的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
29.B 解析 满足不等式组的可行域，如图所示.可行域为一个及其内部，
其中，，，直线过点时取最小值.故选B.

30.(2016山东理4)变量满足，则的最大值是（ ）.
A.4 B.9 C.10 D.12
30.C 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由是点到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点到原点距离的平方，然后再进行比较.经计算，是最优解，的最大值是.故选C.

31．（2016江苏12）已知实数满足，则的取值范围是 ．
31. 解析 在平面直角坐标系中作出可行域如图所示.的含义为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，
此时为原点到直线的距离，
则；图中点距离原点最远，
点为与交点，即.
则．

32.（2017天津理2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）.

A. B.1 C. D.3
32.解析 变量满足约束条件的可行域如图所示，目标函数经过可行域的点时，目标函数取得最大值，由，可得，目标函数的最大值为3.故选D.

33.(2017北京理4)若，满足，则的最大值为（ ）.
A.1 B. 3 C.5 D.9
33.解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令，则.当过点时取最大值，由，故.故选D.

34.（2017全国1理14）设x，y满足约束条件，则的最小值为 .
34.解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由，得，求的最小值，即求直线的纵截距的最大值，当直线过图中点时，纵截距最大，
由，解得点的坐标为，此时.

35.（2017全国2理5）设，满足约束条件，则的最小值是（ ）.
A． B． C． D．
35.解析 目标区域如图所示，当直线过点时，所求取到最小值为．故选A.

36.（2017全国3理12）若，满足约束条件，则的最小值为__________．
36.解析 由题意，作出可行域如图所示.目标函数为，则直线的纵截距越大，值越小．由图可知在处取得最小值，故．

37.（2017山东理4）已知，满足，则的最大值是（ ）.
A. 0 B. 2 C.5 D.6
37.解析 由，作出可行域及直线，如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点时，取最大值为.故选C.

38.(2017浙江理4)若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
38.解析 如图所示，在点取到的最小值为，没有最大值，故．故选D．
题型81 求解目标函数中参数的取值范围
1.（2013浙江13）设，其中实数满足，若的最大值为则实数________.
2.(2013重庆理16）（若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .
3.（2014 安徽理 5），满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）.
A. 或 B.或 C.或 D.或
4.（2014 北京理 6）若满足且的最小值为，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
5.（2014 湖南理 14）变量满足约束条件，且的最小值为，则________.
6.（2014 浙江理 13）当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
7.(2015山东理6) 已知，满足约束条件，若的最大值为，
则( ).
A． B． C． 　　 D．
7.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
依题意，的最大值必在或处取得．①当在处取得时，
，则，经检验，不合题意；②当在处取得时，，
则，经检验，符合题意．故选B．

题型82 简单线性规划问题的实际运用
8.（2014 湖南理 8）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）.
A. B.
C. D.
9.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为 元.
9. 解析 设生产产品A，B的件数分别为，获得利润为元，
则满足约束条件为：，目标函数为，画出满足不等式组的可行域，如图所示.
联立，得，即.移动目标函数，
可得到当其经过点时，有最大值.故填.
第三节 基本不等式及其应用
题型83 利用基本不等式求函数的最值
1.(2013天津理14）设，，则当 时， 取得最小值.
2.（2016上海理10）设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 ．
2. 解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件，且，
所以．故填．
解法二：将方程组中的①式化简得，代入②式整理得，
方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得．
故填．
评注 或．
3.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．
3.解析 一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时取等号．故填．
4.(2017浙江理17)已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 .
4.解析 设，则，.
解法一：可知的最大值为，即或， 解得或 ，所以．则的取值范围是.
解法二：如图所示，当时，成立；
当时，成立；
当时，成立，即.
则的取值范围是.
题型84 利用基本不等式证明不等式
1.（2015湖南理16-3）设，，且.
（1）；（2）与不可能同时成立.
1.解析 证明： 由，得
（1）由基本不等式及，有，即.
（2）假设与同时成立，则由及得；
同理，，从而，这与相矛盾.
故与不可能同时成立.