第三课时：平面向量的数量积（1）.docx

第三课时：平面向量的数量积（1）
【学习目标】
1、理解平面向量数量积含义，会进行平面向量数量积的运算；
2、能运用平面向量数量积表示两个向量的夹角。
【学习重点】平面向量数量积的运算、平面向量数量积表示两个向量的夹角．
【学习难点】平面向量数量积含义、掌握向量数量积运算．
【学习过程】
一、知识梳理
1、平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量 叫做和的数量积（或内积），记作，即= ，并规定零向量与任一向量的数量积为 .
2、向量的数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：（1）= ；（2）= ；
（3）当和同向时，= ，当和反向时，= .
特别地：或；（4） ；
（5）= 是与的夹角）.
3、向量数量积的运算律
（1）= （交换律）；（2）= = （数乘结合律）；
（3）= （分配律）
4、平面向量数量积的坐标表示
（1）= . （2）= ，= . （3） .（4）若与的夹角为，则= .
（5）若的起点坐标和终点坐标分别为则= .
二、激活思维
1、已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，则(2＋3)·(3－2)= .
2、已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值 .
3、已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 ．
4、已知|a|=1，|b|=6，a·(b-a)=2，则向量a与向量b的夹角是__________．
5、已知是夹角为单位向量，，，若，
则k的值为 ．
三、例题讲解
题型一　对向量数量积概念的理解
例1．下列命题正确的是____________
（1）a·0＝0； 2）0·a＝0； （3）0-＝； （4）|a·b|＝|a|·|b|；
（5）若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0； （6）若a·b＝0，则a与b中
至少有一个为0； （7）对任意向量a，b，с都有(a·b)с＝a(b·с)；
（8）若a与b是两个单位向量，则a２＝b２．

变式、有下列四个命题：
① (a·b)2＝a2·b2； ② |a＋b|>|a－b|； ③ |a＋b|2＝(a＋b)2；
④ 若a∥b，则a·b＝|a|·|b|．其中真命题的序号是_____________．
题型二、　利用平面向量数量积解决模、夹角问题
例2．（1）已知向量a和b的夹角为120°，| a |=1，| b |=3，求|5a－b |的值；

（2）平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，求|a+2b|的值．

（3）已知x=a-b，y=2a+b，且|a|=|b|=1，a⊥b，求x与y的夹角的余弦值；

（4）已知a=（m-2，m+3），b=（2m+1，m-2）（m∈R），且a与b的夹角为钝角，
求实数m的取值范围．

变式：已知A(5，0)，B(0，5)，C(cosα，sinα)，α∈(0，π) ．
（1）若⊥，求sin2α；
（2）若| + |=，求与的夹角．
题型三、　利用数量积来解决垂直与平行的问题
例2、已知向量，，
（1）若，求的值； （2）求的最大值。

四、当堂练习：
1、已知向量a，b满足a=(2，1)，a·b=10，︱a+b︱=，则︱b︱=________．
2、若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，则|a+b|=________．
3、已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则a与b的夹角大小是_______.
4、设是的边边上的中线上的一个动点，若,求向量的最小值__________
五、课后练习
1、若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．
2、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
3、已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____．
4、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 。
5、在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为 ．
6、已知a=(x,3)，b=(2,-1)，若a与b的夹角为锐角，则x的取值范围是 ．
7、已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝5，则a与c的夹角为 ．
8、如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_____________

9、如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是__________．
10、已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中， ＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||＝________．
11、平面向量a,b,c满足a+b+c=0，且a与b夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，则|a|=_______．
12．已知|a|＝1，|b|＝，
（1）若a与b的夹角为，求|a＋b|； （2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．

13、在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 设实数t满足()·=0，求t的值。

14．设a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)．
(1)求证：(a－b)⊥(a－c)；
(2)求|a|的最大值，并求此时x的值．