第5课时幂函数函数与方程.doc

第五课时：幂函数、函数图像、函数的周期性
一．高考要求：幂函数主要是以基础知识为主，考查幂函数的定义、图像和性质，有时与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式相结合，多以填空题的形式出现。函数图象在高考中主要是从作图、识图、用图三个方面展开，题型范围广，他是数形结合思想的具体体现，达到以形助数、增强直观性、简化运算的目的，尤其导数引入，对函数图象的要求也就越来越高。周期性的考查主要是以抽象函数的形式出现，常考求值、解析式以及和其他函数性质相结合的综合题。
二．具体知识点：
1、冪函数的概念及注意点：
2、冪函数的性质：
当时：①图像都通过点；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，时，图像是向下凸的；时，图像是向上凸的；④在第一象限内，过点后，图像向右上方无限延伸。
当时：①图像都过点；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；③在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；④在第一象限内，过点后，越大，图像下落的速度越快。
若为互质的分数，则当分子为偶数时，函数为偶函数；当分子为奇数时函数为奇函数。注意：冪函数的图像一定不能出现在第四象限。
3、函数图像的定义：点集叫做函数的图像。
4、描点法作函数的图像：尤其是三角函数的作图（五点法）
5、函数图像的变换：
（1）平移变换a、水平平移；b、竖直平移
（2）对称变换：
a、函数和的图像关于x轴对称；
b、函数 和 的图像关于y轴对称；
c、函数 和 的图像关于原点对称；
d、函数 和 的图像关于直线对称。
若函数满足 则其图像关于直线对称（要详细说明）。
（3）翻折变换：
a、函数与的图像关系：
b、函数与的图像关系：
（4）伸缩变换：
a、函数与的图像关系： 。
b、函数与的图像关系： 。
6、函数周期性；
A：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
（1） 函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2） 函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（3） 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
B:若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.
(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.
(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.
(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.
C:若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
（1） 若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2） 若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.

三．解题方法及技巧
1、紧扣幂函数定义，判断函数是否为幂函数
2、若指数部分含有参数，要立足于幂函数的性质进行讨论
3、要熟练掌握几种基本函数的图象及相关性质
4、若从正面不要理解，则可以用定量的计算来分析问题
5、研究方程或不等式时要注意使用函数图象来帮助解题。
6、抽象函数的变换的理解不能死记硬背，要抓住本质不放松。
7、利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题
四．例题分析
例1、比较大小：。

例2、已知，求实数a的取值范围。

例3、已知冪函数的图像与x,y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图像。

例4、已知函数的图像，通过怎样的变化可得到函数的图像？

例5、将下列变换的结果填在横线上：
（1）将函数的图像向右平移2个单位，得到函数 的图像；
（2）将函数的图像向右平移两个单位，得到函数 的图像；
3）将函数的图像作变换，得到函数 的图像；
（4）将函数的图像向左平移个单位，得到函数 的图像；
（5）将函数的图像各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数
的图像。
例6、（1）由函数的图像，求函数的单调区间，并指出其单调性。
（2）由函数的图像求单调区间。

例7、已知，并且当且仅当点的图像上时，点的图像上。
（1）求的解析式；（2）当x在什么范围时，。

例8已知函数满足
（1）求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出若不存在，说明理由

例9：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值

例10：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式

例11：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.

五．知识运用
1．在函数中，幂函数的个数为
2． 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的
值为

3、函数是冪函数，且在上为减函数，则实数m的值为
4、函数的定义域是__________，奇偶性为_________，单调递增区间是_______________。
5、给出下列四个命题：①函数的定义域相同；②函数的值域相同；③函数都是奇函数；④函数在区间上都是增函数。其中正确命题的序号是________。

6、已知函数的图像有公共点A，且点A的横坐标为2，则k等于
7、在这四个函数图像中，当恒成立的函数个数是
8、已知在区间内存在，则实数a的取值范围是
9、已知函数的实根个数是
10、若直线的图像有两个公共点，则a的取值范围是_____________。
11.f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，则f(2007)=
12、已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数

13、f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.

14、已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？

六．去年高考题
1（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2、(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为
3.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
4（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
5.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为